齿廓与齿线是齿轮的2个主要特征，也是影响齿轮齿面形状、啮合特性和接触特性的主要因素。变双曲圆弧齿线圆柱齿轮作为一种新型圆柱齿轮，其齿向线形状为圆弧曲线，轮齿的中间截面齿廓线为渐开线，其平行于中截面的各端面齿廓线为均匀变化的双曲线的包络线，故其命名为变双曲圆弧齿线圆柱齿轮。

变双曲圆弧齿线圆柱齿轮具有啮合性能好、重合度大、承载力强、传动效率高、安装精度要求低、无轴向分力等特点^[1–3]。该新型齿轮由曲线锥齿轮衍生而来，发展成为圆弧齿线圆柱齿轮，直到现在的变双曲圆弧齿线圆柱齿轮^[4–5]。长谷川吉三郎等^[6]于上世纪首次将圆弧齿线应用到圆柱齿轮上，从而发明了圆弧齿线圆柱齿轮，并用切齿的方法研制了加工该齿轮的切齿机床。Koga^[7]采用了切削刀具与齿坯成一定的倾角的方法，通过刀具做旋转运动而得到圆弧齿线齿廓，这种方法得到的轮齿凹凸齿面能实现共轭啮合。但他们所提出的制造方法所加工的齿轮表面粗糙，啮合不理想，加工出的变双曲圆弧齿线圆柱齿轮不同轮齿的凹凸齿面曲率差异甚大，导致实际接触区域变小，承载能力下降。祝海林等^[8]对圆弧齿线圆柱齿轮的啮合理论进行了一定程度的研究，并得到了轮齿齿面根切的界限模型。郑江^[9]、邹旻^[10]、戴玉堂等^[11]对圆弧齿线圆柱齿轮的啮合理论、根切及加工方法进行进一步的探讨与研究。Tseng等^[12–14]对圆弧齿线圆柱齿轮的接触特性及轮齿齿面数学模型进行了相关分析研究，并取得了一些相关研究成果。狄玉涛等^[15–16]讨论了啮合干涉、轴线平行误差、中心距变化对圆弧齿线圆柱齿轮啮合性能的影响，并提出了齿面应力和弯曲应力计算方法和变位概念，但是没有对齿面的曲率变化特性进行研究。宋爱平等^[17–18]采用铣削的方法加工渐开线曲线圆柱齿轮，其齿形等同于渐开线齿形沿圆弧拉伸，该方法可以建立理想的渐开线圆弧齿线圆柱齿轮，但成型原理不符合加工原理，并且齿面沿齿廓方向的曲率变化与渐开线齿面的曲率变化毫无差异。侯力等^[19–22]最初在分析变双曲圆弧齿线圆柱齿轮加工原理和数学建模的基础上先后利用MAPLE、UG GRIP语言实现了齿轮理论模型的参数化造型，实现面向制造的3维造型和快速原型制造，但该方法所建立的3维模型不太精确，其模型质量不高，存在一定的误差。赵斐等^[23]系统地对变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的齿面方程进行了推导，但是并未在精准的齿面基础上对齿面曲率特性进行研究。综上所述，目前国内外学者对变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的成型原理和强度理论进行了深入的研究，但对该齿轮的法曲率、主曲率、平均曲率、高斯曲率和诱导法曲率的研究较少，尤其利用微分几何和空间啮合理论对该齿轮的曲率进行系统的推导几乎没有。而主曲率和法曲率是反映齿面的几何特性和某点的弯曲程度的基本参数；高斯曲率和平均曲率是反映齿面特征的基本参数，通过高斯曲率和平均曲率可直观地看出齿面的凹凸变化情况等；齿轮副共轭齿面之间的曲率关系决定着齿轮传动质量的好坏，对齿面诱导法曲率、接触区的形状、接触特性、磨损、润滑条件和齿面压应力都有直接的影响。尤其诱导法曲率是决定变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副的接触强度和润滑条件好坏的重要因素，因此对变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的曲率特性研究是很有必要的。

作者利用微分几何和齿轮啮合原理对变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的曲率特性进行系统的研究，得到齿面曲率的变化趋势，可为齿轮的工业化应用提供一定的理论基础。

1 变双曲圆弧齿线圆柱齿轮齿面方程

变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的加工方法与准双曲锥齿轮的加工方法类似，主要由安装在旋转主轴上的刀盘和齿轮毛坯之间的相互运动完成，即在轮齿成型的过程中，刀具的内外刀刃与刀具轴线之间始终存在固定角度，即刀具压力角 $\alpha $ 。双刃刀具在切削过程中会形成2个锥面：外切削刃切削出凹齿面，内切削刃切削出凸齿面。这样，通过刀具和工件紧密的展成运动便可完成变双曲圆弧齿线圆柱齿轮凹凸齿面的成型。

作者利用以上加工原理，建立如图1所示的空间坐标系。其中， ${{\varSigma} _{{\rm d}0}} = \left[ {{O_{{\rm d}0}};{x_{{\rm d}0}},{y_{{\rm d}0}},{{\textit{z}}_{{\rm d}0}}} \right]$ 为与刀盘固联的动坐标系， ${\varSigma _{\rm d}} = \left[ {{O_{\rm d}};{x_{\rm d}},{y_{\rm d}},{{\textit{z}}_{\rm d}}} \right]$ 为刀盘中心位置处的与轴线固定的动坐标系， ${\varSigma _1} = \left[ {{O_1};{x_1},{y_1},{{\textit{z}}_1}} \right]$ 为与齿轮工件固联的动坐标系， $\varSigma= \left[ {O;x,y,{\textit{z}}} \right]$ 为固定坐标系， ${\varSigma_{\rm f}} = \left[ {{O_{\rm f}};{x_{\rm f}},{y_{\rm f}},{{\textit{z}}_{\rm f}}} \right]$ 为辅助坐标系。

根据图1可得到刀具曲面在动坐标系 ${\varSigma _{\rm d}} \!\!=\!\! \left[ {{O_{\rm d}};{x_{\rm d}},{y_{\rm d}},{{\textit{z}}_{\rm d}}} \right]$ 中的参数方程：

$\left\{ \begin{aligned}& {x_{\rm d}} = - ( \pm u\sin \; \alpha + {R_{\rm T}} \pm \displaystyle\frac{{\text{π} m}}{4})\cos \;\theta ,\\& {y_{\rm d}} = ( \pm u\sin\; \alpha + {R_{\rm T}} \pm \displaystyle\frac{{\text{π} m}}{4})\sin \;\theta ,\\& {{\textit{z}}_{\rm d}} = u\cos\; \alpha \end{aligned} \right.$

(1)

式中：u为刀具曲面上任意点沿刀刃到参考点位移； $\alpha $ 为刀具压力角；R_T为名义刀盘半径； $\theta $ 为加工过程中刀具从齿坯中截面到端面的转角，顺时针为正。

从坐标系 ${\varSigma _{\rm d}} = \left[ {{O_{\rm d}};{x_{\rm d}},{y_{\rm d}},{{\textit{z}}_{\rm d}}} \right]$ 到坐标系 $\varSigma = \left[ {O;x,y,{\textit{z}}} \right]$ 的坐标变化矩阵为：

${{A}_{\rm od}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1 & 0 & 0 & {{R_1}{\varphi _1} + {R_{\rm T}}}\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & { - 1} & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}} \right]$

(2)

式中，R₁为被加工齿轮的分度圆半径，φ为齿轮转角。

从坐标系 $\varSigma = \left[ {O;x,y,{\textit{z}}} \right]$ 到坐标系 ${\varSigma _f} = \left[ {{O_{\rm f}};{x_{\rm f}},{y_{\rm f}},{{\textit{z}}_{\rm f}}} \right]$ 的坐标变换矩阵为：

${{A}_{\rm fo}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & {{R_1}}\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}} \right]$

(3)

从坐标系 ${\varSigma_{\rm f}} \!\!=\!\! \left[ {{O_{\rm f}};{x_{\rm f}},{y_{\rm f}},{{\textit{z}}_{\rm f}}} \right]$ 到坐标系 ${\varSigma _1} \!\!=\!\! \left[ {{O_1};{x_1},{y_1},{{\textit{z}}_1}} \right]$ 的坐标变换矩阵为：

${A_{\rm 1f}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\cos \;{\varphi _1}} & { - \sin\; {\varphi _1}} & 0 & 0\\{\sin\; {\varphi _1}} & {\cos \;{\varphi _1}} & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}} \right]$

(4)

则得到从坐标系 ${\varSigma_{\rm d}} = \left[ {{O_{\rm d}};{x_{\rm d}},{y_{\rm d}},{{\textit{z}}_{\rm d}}} \right]$ 到坐标系 ${\varSigma_1} = \left[ {{O_1};{x_1},{y_1},{{\textit{z}}_1}} \right]$ 变换矩阵为：

${{A}_{\rm 1d}} = {{A}_{\rm 1f}}{{A}_{\rm fo}}{{A}_{\rm od}}$

(5)

根据空间啮合原理和微分几何^[24–25]，利用刀具与齿坯之间的相互运动关系，基于刀具曲面参数方程和相应的坐标变换矩阵，得到了变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的齿面方程如式（6）所示：

$\left\{ \begin{aligned}& x = [ - ( \pm u\sin \; \alpha + {R_{\rm T}} \pm \displaystyle\frac{{\text{π} m}}{4})\cos \; \theta + {R_{\rm T}} + R\varphi ]\cos \; \varphi - (R + u\cos \; \alpha )\sin \; \varphi, \\[5pt]& y = [ - ( \pm u\sin \alpha + {R_{\rm T}} \pm \displaystyle\frac{{\text{π} m}}{4})\cos \; \theta + {R_{\rm T}} + R\varphi ]\sin \; \varphi + (R + u\cos \; \alpha )\cos \; \varphi, \\[5pt]& {\textit{z}} = - ( \pm u\sin \; \alpha + {R_{\rm T}} \pm \displaystyle\frac{{\text{π} m}}{4})\sin \; \theta, \\[5pt]& u = \mp \displaystyle\frac{{\sin \; \alpha }}{{\cos \; \theta }}[\cos \; \theta ({R_{\rm T}} \pm \displaystyle\frac{{\text{π} m}}{4}) - ({R_{\rm T}} + R\varphi )]\end{aligned} \right.$

(6)

式（6）为大刀盘铣削加工一个齿槽所得凹、凸齿面的齿面方程。式中：“±”取正号时表示凹齿面，取负号时表示凸齿面；该齿面是由刀具参数 $\theta $ 和齿轮转角参数 $\varphi $ 所表达的齿面成型包络面，通过齿面方程可获得齿轮齿面精准的3维离散数据点，同时也是推导齿面曲率的基础。

2 变双曲圆弧齿线圆柱齿轮曲率 2.1 主曲率

变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副中的齿面动点P在空间内随着齿面参数 $\theta $ 和 $ \varphi$ 变化而运动，齿面动点P的矢径 $r(\theta ,\varphi )$ 在空间坐标系中是关于参数 $\theta $ 和 $ \varphi$ 的方程。根据曲面论^[24–25]和已推导的齿面方程，可计算出齿面的法曲率、主曲率、高斯曲率、平均曲率和主方向。根据齿轮传动副凹、凸齿面方程矢量表达式对参数 $\theta $ 、 $ \varphi$ 求偏导，可得齿轮1齿面的切向量。其中， ${{\mathit{\boldsymbol{r}}}_1}(\theta ,\varphi )$ 和 ${{\mathit{\boldsymbol{r}}}_2}(\theta ,\varphi )$ 为齿轮传动副凹凸齿面方程的矢量表达式， ${{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{1\theta }}$ 和 $ {{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{1\varphi }}$ 为齿轮1齿面的切向量表达式， ${{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{2\theta }}$ 和 $ {{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{2\varphi }}$ 为齿轮2齿面的切向量表达式。

$\begin{align}{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_1}(\theta ,\varphi ) & = {x_1}(\theta ,\varphi ){\mathit{\boldsymbol{i}}} + {y_1}(\theta ,\varphi ){\mathit{\boldsymbol{j}}} + {\textit{z}_1}(\theta ,\varphi ){\mathit{\boldsymbol{k}}}=\\[4pt]& \left\{ {[ - (u\sin \;\alpha + {R_{\rm T}} + \frac{{\text{π} m}}{4})\cos \;\theta + {R_{\rm T}} + {R_1}{\varphi _1}]\cos \;{\varphi _1} - ({R_1} + u\cos \;\alpha )\sin \;{\varphi _1}} \right\}{\mathit{\boldsymbol{i}}}+\\[4pt]& \left\{ {[ - (u\sin \;\alpha + {R_{\rm T}} + \frac{{\text{π} m}}{4})\cos \;\theta + {R_{\rm T}} + {R_1}{\varphi _1}]\sin \;{\varphi _1} + ({R_1} + u\cos \;\alpha )\cos \;{\varphi _1}} \right\}{\mathit{\boldsymbol{j}}}+\\[4pt]& \left\{ { - (u\sin \;\alpha + {R_{\rm T}} + \frac{{\text{π} m}}{4})\sin \;\theta } \right\}{\mathit{\boldsymbol{k}}}\end{align}$

(7)

$\begin{align}{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_2}(\theta ,\varphi ) & = {x_2}(\theta ,\varphi ){\mathit{\boldsymbol{i}}} + {y_2}(\theta ,\varphi ){\mathit{\boldsymbol{j}}} + {\textit{z}_2}(\theta ,\varphi ){\mathit{\boldsymbol{k}}}=\\[4pt] & \left\{ {[ - (u\sin \;\alpha + {R_{\rm T}} + \frac{{\text{π} m}}{4})\cos \;\theta + {R_{\rm T}} + {R_2}{\varphi _2}]\cos \;{\varphi _2} - ({R_2} - u\cos \alpha )\sin \;{\varphi _2}} \right\}{\mathit{\boldsymbol{i}}}+\\[4pt] & \left\{ { - [ - (u\sin \;\alpha + {R_{\rm T}} + \frac{{\text{π} m}}{4})\cos \;\theta + {R_{\rm T}} + {R_2}{\varphi _2}]\sin \;{\varphi _2} - ({R_2} - u\cos \;\alpha )\cos \;{\varphi _2}} \right\}{\mathit{\boldsymbol{j}}}+\\[4pt] & \left\{ { - (u\sin \;\alpha + {R_{\rm T}} + \frac{{\text{π} m}}{4})\sin \;\theta } \right\}{\mathit{\boldsymbol{k}}}\end{align}$

(8)

${{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{1\theta }} \!=\! \frac{{\partial {x_1}}}{{\partial \theta }}{\mathit{\boldsymbol{i}}} \!+\! \frac{{\partial {y_1}}}{{\partial \theta }}{\mathit{\boldsymbol{j}}} \!+\! \frac{{\partial {\textit{z}_1}}}{{\partial \theta }}{\mathit{\boldsymbol{k}}};\;\;{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{1\varphi }} \!=\! \frac{{\partial {x_1}}}{{\partial {\varphi _1}}}{\mathit{\boldsymbol{i}}} \!+\! \frac{{\partial {y_1}}}{{\partial {\varphi _1}}}{\mathit{\boldsymbol{j}}} \!+\! \frac{{\partial {\textit{z}_1}}}{{\partial {\varphi _1}}}{\mathit{\boldsymbol{k}}}$

(9)

其中，

$\begin{align}& {\frac{{\partial {x_1}}}{{\partial \theta }} = (u\sin \; \alpha + {R_{\rm T}} + \frac{{\text{π} m}}{4})\cos \;{\varphi _1}\sin \;\theta + (\sin \; \alpha \sin \;{\varphi _1}\cos \;\theta + \cos \;\alpha \sin \;{\varphi _1})\frac{{\sin \;\theta \sin \; \alpha }}{{{{\cos }^2}\theta }}({R_{\rm T}} + {R_1}{\varphi _1}),}\\[4pt]& {\frac{{\partial {y_1}}}{{\partial \theta }} = (u\sin \; \alpha + {R_{\rm T}} + \frac{{\text{π} m}}{4})\sin \;{\varphi _1}\sin \;\theta + (\sin \; \alpha \sin \;{\varphi _1}\cos \;\theta - \cos \;\alpha \cos \;{\varphi _1})\frac{{\sin \;\theta \sin \; \alpha }}{{{{\cos }^2}\theta }}({R_{\rm T}} + {R_1}{\varphi _1}),}\\[4pt]& {\frac{{\partial {{\text{z}}_1}}}{{\partial \theta }} = - (u\sin \; \alpha + {R_{\rm T}} + \frac{{\text{π} m}}{4})\cos \;\theta + \frac{{{{\sin }^2}\theta {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\theta }}({R_{\rm T}} + {R_1}{\varphi _1}),}\\[4pt]& {\frac{{\partial {x_1}}}{{\partial {\varphi _1}}} = [(u\sin \; \alpha + {R_{\rm T}} + \frac{{\text{π} m}}{4})\cos \;\theta - ({R_{\rm T}} + {R_1}{\varphi _1}) - {R_1}\frac{{\sin \; \alpha \cos \;\alpha }}{{\cos \;\theta }}]\sin \;{\varphi _1} - ({R_1}{{\sin }^2}\alpha + u\cos \;\alpha )\cos \;{\varphi _1},}\\[4pt]& {\frac{{\partial {y_1}}}{{\partial {\varphi _1}}} = [ - (u\sin \; \alpha + {R_{\rm T}} + \frac{{\text{π} m}}{4})\cos \;\theta + ({R_{\rm T}} + {R_1}{\varphi _1}) + {R_1}\frac{{\sin \; \alpha \cos \;\alpha }}{{\cos \;\theta }}]\cos \;{\varphi _1} - ({R_1}{{\sin }^2}\alpha + u\cos \;\alpha )\sin \;{\varphi _1},}\\[4pt]& {\frac{{\partial {{\text{z}}_1}}}{{\partial {\varphi _1}}} = {R_1}{{\sin }^2}\alpha \frac{{\sin \;\theta }}{{\cos \;\theta }}\text{。}}\end{align}$

同理，可求得齿轮2齿面的切向量分别为：

${{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{2\theta }} \!=\! \frac{{\partial {x_2}}}{{\partial \theta }}{\mathit{\boldsymbol{i}}} \!+\! \frac{{\partial {y_2}}}{{\partial \theta }}{\mathit{\boldsymbol{j}}} \!+\! \frac{{\partial {\textit{z}_2}}}{{\partial \theta }}{\mathit{\boldsymbol{k}}},\;\;{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{2\varphi }} \!=\! \frac{{\partial {x_2}}}{{\partial {\varphi _2}}}{\mathit{\boldsymbol{i}}} \!+\! \frac{{\partial {y_2}}}{{\partial {\varphi _2}}}{\mathit{\boldsymbol{j}}} \!+\! \frac{{\partial {\textit{z}_2}}}{{\partial {\varphi _2}}}{\mathit{\boldsymbol{k}}}\!\!\!\!$

(10)

齿轮2齿面的切向量分量与齿轮1的形式相同，由于篇幅有限，这里就不再赘述。

变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副的齿面单位法向量可根据式（11）求得：

${\mathit{\boldsymbol{n}}} = \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\theta } \times {{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\varphi }}}{{\left| {{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\theta } \times {{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\varphi }} \right|}}$

(11)

变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的法曲率可表示为：

$\begin{align}{K_{\rm N}}= & \frac{{L{\rm d}{\theta ^2} + 2M{\rm d}\theta {\rm d}\varphi + N{\rm d}{\varphi ^2}}}{{E{\rm d}{\theta ^2} + 2F{\rm d}\theta {\rm d}\varphi + G{\rm d}{\varphi ^2}}}= \\[4pt]& \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{\theta \theta }} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}}{\rm d}{\theta ^2} + 2{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{\theta \varphi }} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}}{\rm d}\theta d\varphi + {{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{\varphi \varphi }} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}}{\rm d}{\varphi ^2}}}{{{{({{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\theta })}^2}{\rm d}{\theta ^2} + 2{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\theta } \cdot {{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\varphi }{\rm d}\theta {\rm d}\varphi + {{({{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\varphi })}^2}{\rm d}{\varphi ^2}}}\end{align}$

(12)

主曲率可以反映齿面的几何特性，齿轮在啮合过程中任意啮合点存在的2个正交的主方向都具有不同的主曲率值。根据文献[24–25]可知主曲率K₁和K₂是由齿面高斯曲率K和平均曲率H构成的一元二次方程的根，其中齿轮的主曲率可表示为：

${K_1}{\rm{ = }}H + \sqrt {{H^2} - K} $

(13)

${K_2}{\rm{ = }}H - \sqrt {{H^2} - K} $

(14)

变双曲圆弧齿线圆柱齿轮齿面高斯曲率K和平均曲率H反映了齿面的几何特征，它们是反映齿面光滑质量和齿面数据点连接质量的主要参考指标，齿轮的高斯曲率决定了齿面的内在性质，反映了齿面的凹凸特性，其表达式为：

$K = \frac{{LN - {M^2}}}{{EG - {F^2}}} = \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{\theta \theta }} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{\varphi \varphi }} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{n}}}^2} - {{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{\theta \varphi }} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}}} \right)}^2}}}{{{{{\mathit{\boldsymbol{r}}}}_{\theta}^2} \cdot}{{{{\mathit{\boldsymbol{r}}}}_{\varphi } ^2}\cdot}-{{\left( {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{\theta} \cdot {\mathit{\boldsymbol{r}}}_{\varphi } \right)}^2}}$

(15)

$\begin{align}H = &\frac{{LG - 2MF + NE}}{{2(EG - {F^2})}}=\\[4pt]& \frac{{{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{\theta \theta }} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}} \cdot {{({{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\varphi })}^2} - 2{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{\theta \varphi }} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}} \cdot {{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\theta } \cdot {{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\varphi } + {{\mathit{\boldsymbol{r}}}_{\varphi \varphi }} \cdot {\mathit{\boldsymbol{n}}} \cdot {{({{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\theta })}^2}}}{{2\left( {{{({{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\theta })}^2}{{({{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\varphi })}^2} - {{\left( {{{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\theta } \cdot {{\mathit{\boldsymbol{r}}}_\varphi }} \right)}^2}} \right)}}\end{align}$

(16)

2.2 诱导法曲率

在齿轮啮合过程中，仅仅分析单个齿面的法曲率是不够的，必须要讨论2个齿面的相对法曲率，即齿轮副的凹凸面在接触点P处沿任一切线方向的法曲率之差，刻画出了齿轮副在啮合过程中两齿面在啮合点处某一方向的贴近程度。齿轮副共轭齿面的诱导法曲率是衡量齿轮传动装置润滑条件和接触性能好坏的重要参考量，诱导法曲率的计算能给评价齿轮传动机构、合理选择齿轮的参数提供理论依据。国内外通过运动法、运动几何学法、二元矢量法和相对微分法对诱导法曲率进行了研究^[26]。本文利用微分几何和空间啮合原理^[24–25]，系统地推导了变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的诱导法曲率。一般情况下用诱导法曲率绝对值大小评价齿轮传动副的传动性能的好坏。从原理上来说，其绝对值越小说明传动性能越好，当其最小值为0时，表明传动副处在完美啮合位置。

设变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的凸、凹齿面 ${\varSigma ^{\rm{\text{Ⅰ}}}}$ 和 ${\varSigma ^{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}$ 在M点相切； ${\varSigma ^{\rm{{\text{Ⅰ}}}}}$ 的主方向为 $e_1^{\rm{{\text{Ⅰ}}}}$ 、 $e_2^{\rm{{\text{Ⅰ}}}}$ ，主曲率为 $K_1^{\rm{{\text{Ⅰ}}}}$ 、 $K_2^{\rm{{\text{Ⅰ}}}}$ ； ${\varSigma ^{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}$ 的主方向为 $e_1^{\rm{{\text{Ⅱ}}}}$ 、 $e_2^{\rm{{\text{Ⅱ}}}}$ ，主曲率为 $K_1^{\rm{{\text{Ⅱ}}}}$ 、 $K_2^{\rm{{\text{Ⅱ}}}}$ 。同时，设 $e_1^{\rm{{\text{Ⅰ}}}}$ 到 $e_1^{\rm{2}}$ 的有向角为 $ \varphi_1$ ，且两齿面在M点有相同的法线矢量n。啮合齿面的曲率关系如图2所示。

在由 $e_1^{\rm{I}}$ 起到任意一个方向e的有向角为 $\varphi $ ，根据法曲率的欧拉公式^[24]，可得齿面 ${\varSigma _{\rm{I}}}$ 的法曲率为：

${K^{\rm{{\text{I}}}}}{\rm{ = }}K_1^{\rm{{\text{I}}}}{\cos ^2}\varphi + K_2^{\rm{{\text{I}}}}{\sin ^2}\varphi {\rm{ = }}{H^{\rm{{\text{I}}}}} + {R^{\rm{{\text{I}}}}}\cos 2\varphi$

(17)

式中， ${R^{\rm{{\text{I}}}}} = \displaystyle\frac{1}{2}\left( {K_1^{\rm{{\text{Ⅰ}}}} - K_2^{\rm{{\text{Ⅰ}}}}} \right)$ ， ${H^{\rm{{\text{I}}}}} = \displaystyle\frac{1}{2}\left( {K_1^{\rm{{\text{Ⅰ}}}} + K_2^{\rm{{\text{Ⅰ}}}}} \right)$ 。

在同一个方向齿面 ${\varSigma ^{\text{Ⅱ}}}$ 的法曲率为：

$\begin{align}{K^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}}= & K_1^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}{\cos ^2}(\varphi - {\varphi _1}) + K_2^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}{\sin ^2}(\varphi - {\varphi _1})=\\[4pt]& {H^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}} + {R^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}}\cos 2(\varphi - {\varphi _1})\end{align}$

(18)

式中， ${R^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}} = \displaystyle\frac{1}{2}\left( {K_1^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}} - K_2^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}} \right)$ ， ${H^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}} = \displaystyle\frac{1}{2}\left( {K_1^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}} + K_2^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}} \right)$ 。

变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副在切点处的诱导法曲率 ${K^{{\rm{I}}\;{\rm{II}}}}$ 可以表示为：

$\begin{align}{K^{{\rm{I}}\;{\rm{II}}}} & ={K^{\rm{I}}} - {K^{{\rm{II}}}} = {H^{\rm{I}}} - {H^{{\rm{II}}}} + {R^{\rm{I}}}\cos 2\varphi - {R^{{\rm{II}}}}\cos 2(\varphi - {\varphi _1})=\\[4pt]& {H^{\rm{I}}} - {H^{{\rm{II}}}} + ({R^{\rm{I}}} - {R^{{\rm{II}}}}\cos 2{\varphi _1})\cos 2\varphi - {R^{{\rm{II}}}}\sin 2{\varphi _1}\sin 2\varphi \end{align}$

(19)

式中，变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副诱导法曲率在2个主方向上的2个主值分别为：

$\left\{ \begin{array}{l}\!\!\!\! K_1^{{\rm{{\text{Ⅰ}}}}\;{\rm{{\text{Ⅱ}}}}} = {H^{{\rm{{\text{Ⅰ}}}}\;{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}} + {R^{{\rm{{\text{Ⅰ}}}}\;{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}} = K_1^{\rm{{\text{Ⅰ}}}} - K_1^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}},\\[4pt]\!\!\!\! K_2^{{\rm{{\text{I}}}}\;{\rm{{\text{Ⅱ}}}}} = {H^{{\rm{{\text{Ⅰ}}}}\;{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}} - {R^{{\rm{{\text{Ⅰ}}}}\;{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}} = K_2^{\rm{{\text{Ⅰ}}}} - K_2^{{\rm{{\text{Ⅱ}}}}}\end{array} \right.$

(20)

3 数值计算

根据齿轮副的凹凸齿的齿面方程，取表1相关参数作为算例参数对变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的齿面曲率特性进行数值计算分析。

利用MATLAB^[27]获得通过大刀盘铣削加工所得凹、凸齿面的准确数据点，如图3（a）、（b）所示，其中，左边齿面是远离刀具旋转中心的外切削刃所加工出的凹齿面，右边齿面是靠近刀具旋转中心的内切削刃所加工的凸齿面。该齿轮副的齿面数据点是对齿轮副进行齿面曲率特性分析的基础。

变双曲圆弧齿线圆柱齿轮曲率的主方向分别为齿廓方向和齿线方向，为了便于考察曲面特征和讨论变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的法曲率变化情况。本文以主动轮1的凸齿面和从动轮2的凹齿面为研究对象，根据所推导的变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副主曲率、高斯曲率和平均曲率的表达式，计算了齿轮副曲率沿两个主方向（齿廓方向和齿线方向）的变化情况。

从图4可看出齿轮副的凹、凸齿面在齿线方向的主曲率随转角参数 $ \varphi$ 的变化趋势是一致的，但略有差异。这是由于在刀具成形时，刀刃相对刀盘旋转中心有20°的夹角，刀刃旋转形成锥面，而锥面上沿母线点的曲率半径是不同的，所以与其包络的齿面在齿线方向曲率不同。

从图5看出，齿轮从齿顶到齿根啮合过程中，主动轮1凸齿面齿廓方向主曲率和从动轮2凹齿面齿廓方向主曲率都逐渐增大，在轮齿根位置处，齿轮法曲率达到最大值。主动轮1凸齿面齿廓方向主曲率变化幅度在齿根附近最大，从动轮2凹齿面齿廓方向主曲率增加幅度与主动轮1凸齿面恰好相反，这是由于齿轮凸齿面的成型位置靠近齿根，齿轮凹齿面的成型位置靠近齿顶。并且主曲率的变化趋势与齿形的凹凸性是一致的。

从图6–7可看出，齿轮副的高斯曲率和平均曲率直观地反映了齿轮副齿面的凹凸变化情况，这与高斯曲率和平均曲率所能反映的内蕴几何是一致的；齿轮副的高斯曲率和平均曲率都很小，尤其高斯曲率的绝对值在10^–5数量级上，基本接近于0，并且在啮合过程中高斯曲率的变化幅度很小，没有发生突变，这就证明了该齿轮副的光滑程度很高，齿面连续。

图8和9反映了齿轮副在两个主方向上的诱导法曲率变化趋势。

由图8、9可知：在齿线方向齿面诱导法曲率的主值很小，基本接近于0，在齿廓方向的主值为负值，这与文献[26]中规定的若啮合齿面接触点处的公法线矢量方向由齿面的实体指向空域时其诱导法曲率必须为负值是一致的，从而也证明了该齿轮副在啮合过程中没有干涉现象发生。在啮合过程中齿轮副的诱导法曲率在2个主方向上的变化幅度都很小，这也说明了该齿轮的传动性能很好，并且在整个啮合过程中齿轮副处于理想啮合位置；尤其在齿廓方向诱导法曲率绝对值在节圆位置达到最小，恰好也验证了齿轮在啮合过程中节圆附近齿轮传动性能达到最好。啮合过程中，齿轮副齿面在啮合点处曲率连续，达到连接质量，这与该齿轮副传动平稳的结论是一致的。并且很小的诱导法曲率可使该齿轮的接触强度和轮齿抗弯强度较高，这与文献[3–4,21,28]中所论证的变双曲圆弧齿线圆柱齿轮具有较高的弯曲强度和接触强度是一致的。

4 结　论

根据大刀盘加工齿轮成型原理，建立了加工变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的空间坐标系，通过坐标变换和啮合原理推导了变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的齿面方程。

基于齿轮的齿面方程，利用微分几何和啮合原理推导了变双曲圆弧齿线圆柱齿轮的主曲率、高斯曲率、平均曲率和诱导法曲率的数学表达式。

通过数值计算得到了变双曲圆弧齿线圆柱齿轮副算例的齿面数据点和该齿轮的主曲率、高斯曲率、平均曲率和诱导法曲率的变化规律。所得到的数据为计算齿轮综合曲率半径、接触椭圆、接触强度和抗弯强度提供基础，为该齿轮的工业化应用提供设计参考。