随着国民经济的蓬勃发展，道路、水利、采矿、建筑以及国防建设等各个领域中都会遇到边坡稳定性问题，边坡加固方法优化和相应的稳定性分析成为了工程实践和学科研究的热点。抗滑桩作为常用的加固手段，因其抗滑作用显著、桩位灵活、施工安全方便、适用范围广等特点，被广泛应用于边坡工程当中。抗滑桩凭借桩–土共同作用把滑坡推力传递到稳定地层，利用稳定地层的锚固作用和被动抗力来平衡滑坡推力，从而提高了边坡的抗滑稳定安全系数，工程实践证明其对于边坡加固非常有效^[1]。因此，开展抗滑桩加固边坡整体稳定性的理论解析研究，进一步完善边坡稳定性分析理论和方法，具有重大的理论和现实意义。

近年来，对于边坡在抗滑桩加固后稳定性及抗滑桩设计理论的研究已取得了一些进展。古浩^[2]提出了一种把抗滑桩和滑坡体作为整体分析的有限元内力分析方法。郑轶轶^[3]将独创的滑面应力法拓展运用到抗滑桩加固边坡的稳定性分析。李荣建等^[4]利用考虑基质吸力的有限元程序，探讨了抗滑桩加固前后边坡整体稳定性。张晓曦^[5]采用基于极限分析的扇形条分法，对可能出现的次级滑面形状及其稳定性进行了预测研究。王聪聪等^[6]利用数值方法分析了抗滑桩在边坡中的加固效果，探讨了桩、坡参数对边坡稳定及桩体内力等的影响规律。

极限分析法根据能量耗散情况直接研究结构最终达到塑流状态时的极限荷载。与其他岩土工程稳定性分析的常用方法相比，其理论基础严密、求解过程简单、适用性广，在实践和研究中的应用也越发广泛。Chen^[7]发表专著将极限分析应用于岩土结构的稳定性分析，并详细论述了其在岩土边坡稳定性方面的应用。Michalowski等^[8]采用牛角状对数螺旋圆锥体对3维边坡的破坏进行模拟。孙志彬^[9]给出了基于上限定理的简单均质土坡潜在滑动面的确定方法。Gao等^[10]对3维破坏机构的类型进行了拓展研究，细分出3类破坏机构。饶平平等^[11]对坡面沉桩过程中边坡的稳定性进行了极限上限分析。

亦有学者应用极限分析法研究了抗滑桩加固边坡的稳定性问题。Hassiotis^[12]和Li^[13]等分别采用圆弧和对数螺旋线进行模拟，研究了桩体横向力对边坡稳定性和破坏面形状的影响。Ausilio等^[14]对采用极限平衡法和极限分析上下限法的计算结果进行了比较分析，考察了桩对土坡的影响规律及最佳抗滑桩位置。年廷凯^[15]围绕组合荷载模式下承重阻滑桩–土–边坡体系的变形与稳定性问题进行了比较系统而深入的研究。吴永等^[16]研究了地震荷载作用下滑坡锚固体系的能量输入与耗散机制，分析了导致体系失稳的震波特征和临界值。赵炼恒^[17]采用线性和非线性规划方法，发展和完善了复杂条件下边坡稳定性分析和设计的能量方法。谭捍华等^[18]分析了单桩加固边坡的局部稳定性，并由此推导了多桩加固边坡的稳定性分析算式。Gao等^[19]通过建立3维模型研究桩加固边坡的稳定性并进行了参数分析。

目前，应用3维破坏机构进行抗滑桩加固边坡稳定性极限上限分析的成果很少，相关计算模型类型单一，研究结论的细化工作也较为不足。作者在已有研究的基础上，通过引进新的几何优化参数拓展了3维转动破坏机构的类型，将其应用于抗滑桩加固后边坡稳定性的极限上限分析中，并分析了抗滑桩位置、桩距等参数的影响规律。基于拓展后的边坡破坏机构考察抗滑桩对边坡稳定性的影响，在理论上其结果更加科学合理。

1 计算模型和计算方法 1.1 拓展的3维转动破坏机构

应用极限分析上限法研究机构的稳定性，需构建一系列运动许可的速度场，Michalowski等^[8]提出用一种牛角状对数螺旋圆锥体模拟3维边坡的转动破坏。然而，该机构的破坏面通过边坡坡趾，但实际的破坏面并不一定通过坡趾，因此机构的几何模型有待改进和拓展，以得到更危险的潜在破坏机构及其对应的更接近真实解的上限解。参考Gao等^[10]对未加固边坡的拓展分析方法，作者在抗滑桩加固后边坡稳定性的3维极限上限分析中，对破坏面通过坡趾的3维转动破坏机构（坡趾破坏）进行了类似拓展，考虑破坏面通过坡面（坡面破坏）和破坏面通过坡趾下方（坡底破坏）的情况，如图1所示。

本文计算模型选取单一土层边坡，假设土体满足理想弹塑性模型，服从库仑屈服准则和相关联流动法则。边坡高度为H，坡角为 $\beta $ ，采用单排抗滑桩对边坡进行加固。破坏机构存在一对称面，对称面的两条界线分别为两条对数螺旋线 $r = {r_0}{{\rm e}^{(\theta - {\theta _0})\tan \varphi }}$ 和 $r' = $ ${r'_0}{{\rm e}^{ - (\theta - {\theta _0})\tan \varphi }}$ ，破坏机构由上述两条界线（图1中AD、A'D'）和一系列圆截面构成，破坏面为部分螺旋圆锥体与坡体的相交面。此机构圆截面的半径为 $R = (r - r')/2$ ，圆心轨迹为 ${r_{\rm{m}}} = (r + r')/2$ ，基准线 $OA$ 和 $OD$ 的角度分别为 ${\theta _0}$ 和 ${\theta _{\rm{h}}}$ ，长度分别为 ${r_0}$ 和 ${r_{\rm{h}}}$ ， $OB$ 的角度为 ${\theta _{\rm{B}}}$ ， $OC$ 的角度为 ${\theta _{\rm{C}}}$ ，土坡滑动体以角速度 $\omega $ 绕点 $O$ 转动破坏，机构转动线速度与破坏面的夹角为土体内摩擦角 $\varphi $ ^[8]。

如图1所示，在坡面破坏和坡底破坏中，分别引进几何参数 $n = H'/H$ 和 $\beta '$ 以确定机构的几何形状，其中，H'为破坏面与坡面交点距离坡顶的垂直高度， $\beta '$ 为假设破坏面与坡底交点为坡趾时的坡角。当 $n = 1$ 或 $\beta ' = \beta $ 时，机构退化为坡趾破坏。

在分析过程中，作者认为整体破坏机构被限定在一个确定的宽度 $B$ 内，为使破坏机构适用于多种边坡宽度取值的情况，将图1中的螺旋圆锥体沿对称面“切开”成为整体破坏机构的端部，并将对称面沿坡体宽度方向进行延拓插入破坏机构中，平面插入部分的宽度为 $b$ ，如图2所示。此组合破坏机构可以应用于任意宽度的边坡3维稳定性分析^[8]。

1.2 抗滑稳定安全系数

F_s表征边坡机构稳定性的抗滑稳定安全系数，其定义为：实际土体强度参数与维持边坡稳定所需的最小土体强度参数的比值。其表达式为：

${F_{\rm{s}}} = \frac{c}{{{c_{\rm{m}}}}} = \frac{{\tan\; \varphi }}{{\tan \;{\varphi _{\rm{m}}}}}$

(1)

式中， $c$ 和 $\tan \;\varphi $ 为实际土体强度参数， ${c_{\rm{m}}}$ 和 $\tan \;{\varphi _{\rm{m}}}$ 为维持边坡稳定的极限强度参数。

在安全系数 ${F_{\rm{s}}}$ 的确定过程中，需要以 ${F_{\rm{s}}}$ 对土体参数 $c$ 和 $\tan\; \varphi $ 进行折减，并将折减后的土体参数 $c/{F_{\rm{s}}}$ 和 $\tan \;\varphi /{F_{\rm{s}}}$ （即 ${c_{\rm{m}}}$ 和 $\tan \;{\varphi _{\rm{m}}}$ ）代入内外功率的相等关系中。在已知土坡参数（ $c$ 、 $\varphi $ 、 $\gamma $ 、 $H$ 、 $B$ 、 $\beta $ ）的基础上，为得到安全系数最小上限解及其对应的破坏机构，需对表征破坏机构形状的一系列几何参数 $({\theta _0},{\theta _{\rm{h}}},{r'_0}/{r_0},b,(n,\beta '))$ 进行优化筛选。优化过程中，需计算每一组几何参数对应的破坏机构下边坡的安全系数，以搜寻其最小上限解，此时对应的破坏机构即为最危险破坏机构。优化过程可以表示为：

$\begin{aligned}{F_{\rm{s}}} = \min f({F_{\rm{s}}},{\theta _0},{\theta _{\rm{h}}},{{r'}_0}/{r_0},b,(n,\beta ') |c,\varphi ,\gamma ,H,B,\beta )\end{aligned}$

(2)

式中， $c$ 为土体黏聚力， $\gamma $ 为土体重度， $n$ 和 $\beta '$ 视破坏机构类型而选取。

2 外功率和内能耗散率

根据上述极限分析上限法的计算原理，需在运动许可的变形机构中，通过内外功率的相等关系建立方程，得到安全系数的上限解，并通过机构优化搜索最小上限解。计算中，外功率只包含滑动体重力做功功率 ${W_\gamma }$ ，内能耗散率除发生在滑动体内部及破坏面上的部分D之外，还需考虑克服抗滑桩横向抗力的内能耗散率 ${D_{\rm{p}}}$ 。内外功率相等关系方程表示为：

$W_\gamma ^e + W_\gamma ^c = {D^e} + {D^c} + D_{\rm{p}}^e + D_{\rm{p}}^c$

(3)

式中，上标 $e$ 和 $c$ 分别表示端部和平面插入部分。此方程中包含待求的安全系数 ${F_{\rm{s}}}$ 。

坡趾破坏的内外功率 ${W_\gamma }$ 和 $D$ 的计算公式参考。文献[7-8]中详细介绍；Ito和Matsui^[20]基于塑性变形理论，给出了计算排桩桩土间横向力的理论公式，结合几何关系可得到其做功功率 ${D_{\rm{p}}}$ 的计算方法。在已有公式基础上进行修正，可以得到坡面破坏和坡底破坏内外功率的计算方法。作者将不同机构类型下的各部分公式进行整合，并对部分公式结合几何关系进行调整，建立了式（3）所示的安全系数整体计算框架。

2.1 坡面破坏

如图3所示，可将坡面破坏视为坡高是H'的坡趾破坏，将后者公式中坡高H替换为H'即可得到前者内外功率 ${W_\gamma }$ 和D的计算公式。其中，平面插入部分的内外功率计算可视为横截面2维转动机构在边坡宽度方向上的延拓，可由2维转动机构的内外功率计算公式与平面插入部分宽度 $b$ 相乘得到。

考虑单排抗滑桩的加固作用，还需计算克服抗滑桩横向抗力做功的内能耗散率 ${D_{\rm{p}}}$ 。桩土间横向力计算公式如下^[19]：

$\begin{aligned}[b] p({\textit{z}}) = & c{D_1}{\left( {\frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}} \right)^{N_\varphi ^{1/2}\tan \;\varphi + {N_\varphi } - 1}}\left\{ {\frac{1}{{{N_\varphi }\tan \;\varphi }}}\cdot \right.\\& \Bigg[ {\exp } \left( {\frac{{{D_1} - {D_2}}}{{{D_2}}}{N_\varphi }\tan \;\varphi \tan \left( {\frac{{\text{π}} }{8} + \frac{\varphi }{4}} \right)} \right) - \\&\left. { {2N_\varphi ^{1/2}\tan \;\varphi - 1} \Bigg] + \frac{{2\tan \;\varphi + 2N_\varphi ^{1/2} + N_\varphi ^{ - 1/2}}}{{N_\varphi ^{1/2}\tan \;\varphi + {N_\varphi } - 1}}} \right\} - \\ &c\left[ {{D_1}\frac{{2\tan \;\varphi + 2N_\varphi ^{1/2} + N_\varphi ^{ - 1/2}}}{{N_\varphi ^{1/2}\tan \;\varphi + {N_\varphi } - 1}} - 2{D_2}N_\varphi ^{ - 1/2}} \right] + \\& \qquad\qquad\frac{{\gamma {\textit{z}}}}{{{N_\varphi }}}\left[ {{D_1}{{\left( {\frac{{{D_1}}}{{{D_2}}}} \right)}^{N_\varphi ^{1/2}\tan \varphi + {N_\varphi } - 1}} \cdot } \right.\\& \left. {\exp \left( {\frac{{{D_1} - {D_2}}}{{{D_2}}}{N_\varphi }\tan \;\varphi \tan \left( {\frac{{\text{π}} }{8} + \frac{\varphi }{4}} \right)} \right) - {D_2}} \right]\end{aligned}$

(4)

式中， ${N_\varphi } = \tan \left( {\displaystyle\frac{{\text{π}} }{4} + \displaystyle\frac{\varphi }{2}} \right)$ ， ${D_1}$ 为桩轴间距， ${D_2}$ 为桩边界间距， $({D_1} - {D_2})$ 为桩径 ${d_{\rm{p}}}$ 。

破坏机构对称面内的几何关系如图3所示，其中， ${r_{\rm{p}}}$ 和 ${\theta _{\rm{p}}}$ 为抗滑桩位置对应的旋转半径和角度， ${X_{\rm{F}}}$ 为抗滑桩位置与坡趾间水平距离， ${L_{\rm{x}}}$ 为坡面的水平长度。

3维转动破坏机构中克服桩土间横向力做功功率 ${D_{\rm{p}}}$ 的微分由横向力密度的微分 $\displaystyle\frac{{p({\textit{z}})}}{{{D_1}}}{\rm d}{\textit{z}}$ 、角速度 $\omega $ 、深度 ${\textit{z}}$ 处机构宽度与深度 ${\textit{z}}$ 处力臂 $l({\textit{z}})$ 相乘得到，其中，端部的机构宽度为 $2x({\textit{z}})$ ，平面插入部分为 $b$ 。将上述乘积沿桩体长度方向在破坏面深度范围 $h$ 内积分，可得 $D_{\rm{p}}^e$ 和 $D_{\rm{p}}^c$ 计算公式如下^[19]：

$D_{\rm{p}}^e = 2\omega \int_0^h {\frac{{p({\textit{z}})}}{{{D_1}}}x({\textit{z}})l({\textit{z}})} {\rm d}{\textit{z}}$

(5)

$D_{\rm{p}}^c = \omega \int_0^h {\frac{{p({\textit{z}})}}{{{D_1}}}bl({\textit{z}})} {\rm d}{\textit{z}}$

(6)

式（5）～（6）中，

$x({\textit{z}}) = \sqrt {R_{\rm{e}}^2 - {{\left( {\sqrt {{l^2} + {{({r_{\rm{p}}}\cos {\theta _{\rm{p}}})}^2}} - {r_{{\rm{me}}}}} \right)}^2}} ,$

$l({\textit{z}}) = {r_{\rm{h}}}\sin \;{\theta _{\rm{h}}} - {X_{\rm{F}}}\tan \;\beta + {\textit{z}},$

$h = {r_{\rm{p}}}\sin \;{\theta _{\rm{p}}} - {r_{\rm{h}}}\sin \;{\theta _{\rm{h}}} + {X_{\rm{F}}}\tan \;\beta{\text{。}}$

其中， ${R_{\rm{e}}}$ 和 ${r_{{\rm{me}}}}$ 为深度 ${\textit{z}}$ 对应的角度 ${\theta _{\rm{e}}}$ 下 $R$ 和 ${r_{\rm{m}}}$ 的取值， ${\theta _{\rm e}}$ 计算公式如下：

${\theta _{\rm{e}}} = \arccos \left( {\frac{{{r_{\rm{p}}}\cos \;{\theta _{\rm{p}}}}}{{\sqrt {{{({r_{\rm{p}}}\cos \;{\theta _{\rm{p}}})}^2} + {l^2}} }}} \right)$

(7)

如图3所示，由于几何关系的变化，坡面破坏的计算中不仅需要将上述公式中的H替换为H'，还需将 ${L_{\rm{X}}}$ 和 ${X_{\rm{F}}}$ 替换为 $n{L_{\rm{X}}}$ 和 $({X_{\rm{F}}} + (n - 1){L_{\rm{X}}})$ 。

2.2 坡底破坏

由于模型几何形状的改变，坡底破坏的内外功率计算公式与坡趾破坏有所不同。按照Michalowski等^[8]的积分推导方法，Gao等^[10]给出了端部螺旋圆锥体重力做功功率 $W_\gamma ^e$ 和内能耗散率 ${D^e}$ 的计算公式如下：

$\begin{aligned} W_\gamma ^e = & 2\omega \gamma \left[ {\int_{{\theta _0}}^{{\theta _{\rm{B}}}} {\int_0^{\sqrt {{R^2} - {a^2}} } {\int_a^{\sqrt {{R^2} - {x^2}} } {{{({r_{\rm{m}}} + y)}^2}\cos \;\theta {\rm{d}}y{\rm{d}}x{\rm{d}}\theta } } } } \right. + \\& \int_{{\theta _{\rm{B}}}}^{{\theta _{\rm{C}}}} {\int_0^{\sqrt {{R^2} - {d^2}} } {\int_d^{\sqrt {{R^2} - {x^2}} } {{{({r_{\rm{m}}} + y)}^2}\cos \;\theta {\rm{d}}y{\rm{d}}x{\rm{d}}\theta } } } + \\& \left. {\int_{{\theta _{\rm{C}}}}^{{\theta _{\rm{h}}}} {\int_0^{\sqrt {{R^2} - {e^2}} } {\int_e^{\sqrt {{R^2} - {x^2}} } {{{({r_{\rm{m}}} + y)}^2}\cos \;\theta {\rm{d}}y{\rm{d}}x{\rm{d}}\theta } } } } \right]\end{aligned}$

(8)

$\begin{aligned}[b]{D^e} = & \frac{{ - 2c\omega r_0^2}}{{\tan \;\varphi }}\left[ {{{\sin }^2}{\theta _0}\int_{{\theta _0}}^{{\theta _{\rm{B}}}} {\frac{{\cos \;\theta }}{{{{\sin }^3}\;\theta }}} \sqrt {{R^2} - {a^2}} {\rm{d}}\theta + } \right.\\& {{\rm e}^{2({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan \varphi }}\frac{{{{\sin }^2}(\beta + {\theta _{\rm{C}}}){{\sin }^2}{\theta _{\rm{h}}}}}{{{{\sin }^2}\;{\theta _{\rm{C}}}}} \times \\& \int_{{\theta _{\rm{B}}}}^{{\theta _{\rm{C}}}} {\frac{{\cos (\theta + \beta )}}{{{{\sin }^3}(\theta + \beta )}}} \sqrt {{R^2} - {d^2}} {\rm{d}}\theta + \\& \left. {{{\rm e}^{2({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan \varphi }}{{\sin }^2}{\theta _{\rm{h}}}\int_{{\theta _{\rm{C}}}}^{{\theta _{\rm{h}}}} {\frac{{\cos \;\theta }}{{{{\sin }^3}\;\theta }}} \sqrt {{R^2} - {e^2}} {\rm{d}}\theta } \right]\end{aligned}$

(9)

式中，

$a = \frac{{\sin \;{\theta _0}}}{{\sin \;\theta }}{r_0} - {r_{\rm{m}}},$

$d = \frac{{\sin (\beta + {\theta _{\rm{C}}})\sin \;{\theta _{\rm{h}}}}}{{\sin (\beta + \theta )\sin \;{\theta _{\rm{C}}}}}{{\rm e}^{({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan \;\varphi }}{r_0} - {r_{\rm{m}}},$

$e = \frac{{\sin \;{\theta _{\rm{h}}}}}{{\sin \;\theta }}{{\rm e}^{({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan \;\varphi }}{r_0} - {r_{\rm{m}}},$

${\theta _{\rm{B}}} = \arctan \frac{{\sin \;{\theta _0}}}{{\cos \;{\theta _0} - A'}},$

${\theta _{\rm{C}}} = \arctan \frac{{\sin \;{\theta _{\rm{h}}}{{\rm e}^{({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan \;\varphi }}}}{{\cos \;{\theta _0} - A' - (\sin \;{\theta _{\rm{h}}}{{\rm e}^{({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan \;\varphi }} - \sin \;{\theta _0})/\tan \;\beta }},$

其中，

$A' = \frac{{\sin ({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})}}{{\sin \;{\theta _{\rm{h}}}}} - \frac{{{{\rm e}^{({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan\;\varphi }}\sin \;{\theta _{\rm{h}}} - \sin \;{\theta _0}}}{{\sin \;{\theta _{\rm{h}}}\sin \;\beta '}} \sin ({\theta _{\rm{h}}} + \beta '){\text{。}}$

平面插入部分重力做功功率 $W_\gamma ^c$ 和内能耗散率 ${D^c}$ 公式如下^[7]：

$W_\gamma ^c = b \omega \gamma r_0^3({f_1} - {f_2} - {f_3} - {f_4})$

(10)

${D^c} = \frac{{b c\omega r_0^2}}{{2\tan \;\varphi }}\left[ {{{\rm e}^{2({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan\; \varphi }} - 1} \right]$

(11)

式（10）～（11）中，

$\begin{aligned}{f_1} = & \frac{1}{{3(1 + 9{{\tan }^2}\varphi )}}\left[ {(3\tan \;\varphi \cos \;{\theta _{\rm{h}}} + \sin \;{\theta _{\rm{h}}})} \cdot \right.\\& \left. {{{\rm e}^{3({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan \;\varphi }} - (3\tan \varphi \cos {\theta _0} + \sin {\theta _0})} \right],\end{aligned}$

${f_2} = \frac{1}{6}\frac{L}{{{r_0}}}\left( {2\cos \;{\theta _0} - \frac{L}{{{r_0}}}} \right)\sin \;{\theta _0},$

$\begin{aligned}{f_3} = & \frac{1}{6}{{\rm e}^{({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan \;\varphi }}\left[ {\sin ({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0}) - \frac{L}{{{r_0}}}\sin \;{\theta _{\rm{h}}}} \right]\cdot\\& \left[ {\cos \;{\theta _0} - \frac{L}{{{r_0}}} + \cos \;{\theta _{\rm{h}}}{{\rm e}^{({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan \varphi }}} \right],\end{aligned}$

$\begin{aligned}{f_4} = & {\left( {\frac{H}{{{r_0}}}} \right)^2}\frac{{\sin (\beta - \beta ')}}{{2\sin \;\beta \sin \;\beta '}}\cdot \\& \left[ {\cos \;{\theta _0} - \frac{L}{{{r_0}}} - \frac{1}{3}\frac{H}{{{r_0}}}(\cot \;\beta ' + \cot \;\beta )} \right],\end{aligned}$

其中，

$\begin{aligned}\frac{L}{{{r_0}}} = & \frac{{\sin ({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})}}{{\sin \;{\theta _{\rm{h}}}}} - \frac{{\sin ({\theta _{\rm{h}}} + \beta ')}}{{\sin \;{\theta _{\rm{h}}}\sin \;\beta '}}\cdot \\& \left[ {{{\rm e}^{({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan \;\varphi }}\sin \;{\theta _{\rm{h}}} - \sin \;{\theta _0}} \right],\end{aligned}$

$\frac{H}{{{r_0}}} = {{\rm e}^{({\theta _{\rm{h}}} - {\theta _0})\tan \;\varphi }}\sin \;{\theta _{\rm{h}}} - \sin \;{\theta _0}{\text{。}}$

在坡底破坏的计算中，克服抗滑桩横向抗力做功的功率可由式（5）～（7）计算得到，仅需将公式中的 $\beta $ 替换为 $\beta '$ 。

3 算例对比与参数分析

计算图1和2所示3维边坡破坏机构的抗滑稳定安全系数，并对抗滑桩位置 ${X_{\rm{F}}}/{L_{\rm{X}}}$ 、相对桩距 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 、机构相对宽度 $B/H$ 、坡角 $\beta $ 进行参数影响分析。模型的基本几何参数和土体参数见表1。

为验证方法和所编优化程序的正确性，本文在第3.1节和第3.2节中将 $B/H$ 取2.0时的计算结果与文献[19]进行对比，可以看出，本文计算结果与已有解答非常接近，且由于本文拓展了破坏机构的类型，使部分参数取值下的结果得到了优化。

对于3种破坏机构类型，坡趾破坏可以看作坡面破坏和坡底破坏的特殊情况。因此在优化过程中，计算结果所对应的破坏机构类型没有规避坡趾破坏。换言之，如果出现坡面破坏和坡底破坏的计算结果，说明对破坏机构类型的拓展是有意义的，从而实现了计算结果的进一步优化。

3.1 抗滑桩位置的影响

为研究抗滑桩位置对边坡破坏模式及稳定性的影响，相对桩距 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 取2.5，分别计算不同机构相对宽度 $B/H$ 的取值下，边坡抗滑稳定安全系数 ${F_{\rm{s}}}$ 随抗滑桩位置移动而变化的情况。计算结果如图4所示。

从图4中可以看出，当机构限宽较小且抗滑桩位置较靠近坡趾时，边坡的潜在最危险破坏模式为坡面破坏，其余情况下，边坡仍倾向于在坡趾破坏模式下发生破坏。另外，虽然 $B/H$ 对边坡安全系数和破坏模式有影响，但并不会改变安全系数随抗滑桩位置移动而变化的规律，最安全抗滑桩位置也几乎不受 $B/H$ 的影响，皆位于同一位置（ ${X_{\rm{F}}}/{L_{\rm{X}}}$ 约为0.7）。

图5为 $B/H$ 取1.0和2.0时破坏机构中心截面图。从图5中可以看出，在坡趾破坏模式下，随着 ${X_{\rm{F}}}/{L_{\rm{X}}}$ 的增加，破坏面逐渐靠近坡面，当 ${X_{\rm{F}}}/{L_{\rm{X}}}$ 较大时，破坏面形状有曲率变大的趋势；而在坡面破坏模式下，破坏机构在高度变小的同时，破坏面相对较“厚”，曲率较大。

与单独考察端部即螺旋圆锥体3维模型的稳定性相比，采用2维模型即插入部分分析边坡稳定性得到的结果更加保守，因此，作者采用的组合模型将优化2维模型过分保守的稳定性评估，将端部对于整体破坏机构安全系数的影响称为“端部效应”。

考察抗滑桩加固后3维边坡的破坏模式和稳定性时，主要考虑3维破坏机构端部效应和抗滑桩横向抗力的影响。用端部的宽度 $(B - b)$ 表征端部效应的影响，用克服抗滑桩横向抗力做功功率 ${D_{\rm{p}}}$ 与总外功率 $(W_\gamma ^e + W_\gamma ^c)$ 的比值表征桩的加固作用，研究 $B/H$ 取1.0和2.0时两方面因素对不同抗滑桩位置下边坡安全系数的影响，结果见图6。

从图6（b）可以看出，抗滑桩横向抗力的影响是边坡安全系数变化的主要原因，该部分功率对于边坡安全贡献率的变化规律与边坡安全系数的变化规律契合度较高，抗滑桩加固作用最显著的位置即为安全系数最高的位置。而图6（a）显示，破坏机构端部宽度除去在 ${X_{\rm{F}}}/{L_{\rm{X}}}$ 较小的部分有所增加，其变化规律与安全系数变化规律相反，在最安全抗滑桩位置处端部宽度反而最小，这说明抗滑桩加固作用越显著，端部效应对于边坡稳定性的增益越小，其并非影响边坡稳定性的主因。另外，在 $B/H$ 为1.0的曲线中，当 ${X_{\rm{F}}}/{L_{\rm{X}}}$ 较小时，由于破坏机构为坡面破坏，图6中的曲线形状在该部分有所变化。

3.2 桩距的影响

为研究桩距对边坡破坏模式及稳定性的影响，抗滑桩位置 ${X_{\rm{F}}}$ 取13.7 m，分别计算不同机构相对宽度 $B/H$ 的取值下，边坡抗滑稳定安全系数 ${F_{\rm{s}}}$ 随相对桩距 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 改变而变化的情况，计算结果如图7所示。当 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 较大，即抗滑桩排布较稀疏时，不满足式（4）推导过程中的塑性条件，公式不再适用，因此 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 在1.5～4.0之间取值。

从图7中可以看出：不同机构限宽的条件下，桩距对安全系数的影响规律相似。除 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 较小的部分之外，边坡的潜在最危险破坏模式皆为坡趾破坏，安全系数随 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 的增大而减小，且变化率逐渐变小，无限接近未加固边坡（ ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 为无穷大）的安全系数。在 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 较小的情况下，边坡安全系数存在一上限，且边坡破坏模式变为坡面破坏模式。这是由于当抗滑桩排布较紧密时，其能提供的横向抗力也较大，此时边坡更倾向于在抗滑桩位置上方发生不受横向抗力影响的次级滑动。此模式下的破坏面形状和边坡安全系数皆不再受 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 的影响。文献[19]的结果是在未考虑次级滑动的前提下得出的，因此其安全系数变化曲线在桩较密时没有出现上限值。

不同 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 取值下破坏机构中心截面图如图8所示，抗滑桩横向抗力的影响和机构端部宽度的变化如图9所示。

从图8、9可以看出，坡趾破坏的破坏机构受 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 影响不大，随 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 的增大发生了小幅增厚。抗滑桩横向抗力的影响随桩距的增大而减小，而端部效应影响的变化规律则呈现相反趋势，依旧说明抗滑桩横向抗力影响的优先级高于端部效应。

3.3 机构限宽的影响

将图4和7中的曲线进行纵向比较，可以得到 ${X_{\rm{F}}}/{L_{\rm{X}}}$ 和 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 取值一定时边坡抗滑稳定安全系数受机构限宽的影响规律。随着机构相对宽度 $B/H$ 的增大，破坏机构中平面插入部分所占比例逐渐增大，因此，边坡安全系数逐渐减小，且减小幅度逐渐变缓并无限接近2维破坏机构的安全系数。

图10反映了 ${X_{\rm{F}}}/{L_{\rm{X}}}$ 取0.3、0.7和 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 取2.5的条件下，破坏机构中心截面图在不同 $B/H$ 取值下的变化情况。从图10中可以看出： $B/H$ 越大，破坏机构相对越厚；当 $B/H$ 大于2.0时，破坏机构形状已非常接近2维情况， $B/H$ 取值对其影响不大。另外，如前所述， ${X_{\rm{F}}}/{L_{\rm{X}}}$ 和 $B/H$ 较小时，边坡破坏机构为坡面破坏。

3.4 坡角的影响

对于边坡的稳定性，其坡角是最重要的影响因素之一，因此在沉桩条件一定（ ${X_{\rm{F}}}/{L_{\rm{X}}}$ 取0.7、 ${D_1}/{d_{\rm{p}}}$ 取2.5）的前提下，研究抗滑桩加固后边坡的坡角对于其破坏模式及稳定性的影响。

如图11所示，边坡安全系数随坡角 $\beta $ 和机构限宽 $B/H$ 的增大而减小，且坡角越大，安全系数随之减小的速率越慢。在本研究选取的沉桩条件下，不论 $B/H$ 如何取值，当坡角较小时，边坡破坏模式皆为坡底破坏。而文献[10]中，当坡角较小时，未加固边坡的破坏模式应 $B/H$ 的不同，分别出现了坡面破坏和坡底破坏，说明抗滑桩加固作用对边坡破坏模式确有影响。

4 结　论

通过对不同参数下边坡的3维破坏机构和抗滑稳定安全系数进行拓展研究，得出以下结论：

1）最安全抗滑桩位置不受机构限宽影响，位于坡面中点与坡顶间的某一位置；当机构限宽较小且抗滑桩位置靠近坡趾时，边坡破坏模式为坡面破坏。

2）坡趾破坏模式下，随着抗滑桩位置远离坡趾，破坏面逐渐靠近坡面且曲率增大；当抗滑桩处于横向抗力影响较大的位置时，其是影响边坡稳定性的主因，而非3维破坏机构的端部效应。

3）当抗滑桩桩距较小时，边坡倾向于在抗滑桩位置上方发生次级滑动；边坡整体安全系数随桩距的增大而降低，并逐渐接近未加固边坡的安全系数；坡趾破坏模式下，破坏机构随桩距的增大发生小幅增厚。

4）随着机构限宽的增大，边坡安全系数逐渐降低，破坏机构逐渐增厚，并逐渐接近2维破坏机构的安全系数和破坏面形状。

5）当坡角较小时，抗滑桩加固边坡的破坏模式为坡底破坏。通过对边坡破坏模式类型的拓展，搜寻到了更危险的破坏面和更小的安全系数上限解，实现了计算结果的优化。