受混凝土收缩徐变、预应力损失、施工质量和超载等各种因素的影响，大跨径预应力混凝土（prestressed concrete，PC）连续梁桥普遍出现了不同程度的跨中下挠和梁体开裂问题，严重影响桥梁的正常使用，甚至造成桥梁的坍塌^[1–2]。采用斜拉体系加固能够较好地解决此类桥梁的病害问题，逐渐引起了工程界的关注^[3]。然而，既有桥梁的变形机理极为复杂，呈现出模糊性和不确定性^[4]，由此给斜拉体系加固主梁变形的预报带来了极大困难。

目前，预报主梁变形较为实用的方法是根据实测的主梁变形监控数据建立智能预测模型对其进行分析，一方面可以提高计算效率，另一方面可以提高计算精度^[5]。斜拉体系加固主梁系统是部分信息已知，部分信息未知的复杂灰色系统。因此，采用灰色系统理论^[6]对主梁变形预测是合理可行的，该模型优点在于“少数据建模”。但是，通常的灰色预测模型只适应于严格的等间隔序列^[7–8]，这给工程的应用带来了诸多不便，如斜拉体系加固张拉阶段的控制索力往往采用非等间隔的索力差对斜拉索进行张拉控制，以达到经济、合理地控制主梁变形量的目的。传统非等间隔灰色模型（traditional unequal interval gray model，TUIGM）对原始数据的一次累加和累减过程中，非等间隔权重直接采用了传统非等间隔序列建立的灰色模型，或者给定某一特定的非等间隔权重分配系数^[9]。然而，在累加和累减过程中生成的序列并非最优，使预测模型存在预测精度偏低、误差逐渐偏大等缺点。另外，残差序列往往随机性较强，规律性不明显，单一模型不利于解决多样性问题，因此，还需选择合理的残差修正模型进行组合预测，以便进一步提高预测精度和增强随机灵动性。李欣然等^[10]采用傅里叶–马尔科夫组合修正模型，对等间隔年份的售电量进行预测。Ye等^[11]通过优化等间隔灰色模型的背景值减小系统误差后，继续利用马尔科夫链法对河南省年粮食产量进行预测，并取得了较高的预测精度。

因此，作者利用斜拉体系加固大跨径PC连续箱梁桥主梁的变形数据，找出变形规律与灰色理论的对应关系，提出了一种马尔科夫链残差修正的改进非等间隔权重灰色（improved unequal interval weight gray model-Markov，IUIWGM-M）主梁变形预测模型。一方面，利用改进非等间隔权重灰色模型解决“不确定性”“贫信息”“成本高”“非等间隔”的问题；另一方面，利用马尔可夫链法反映出状态的随机过程，进一步提高模型的预测精度及随机灵动性。

1 改进非等间隔权重灰色模型在主梁变形预测中的构建与求解

将张拉阶段对应的累积索力数据视为非等间隔灰色模型^[12]的原始时间序列，主梁桥面测点的竖向累积变形量视为原始非等间隔序列，从而构建斜拉体系加固施工张拉阶段主梁变形预测模型。

1.1 加固主梁变形预测模型的构建

设主梁某测点对应的变形量序列为：

${X^{(0)}}({F_k}) = ({X^{(0)}}({F_1}),\;{X^{(0)}}({F_{\rm{2}}}), \cdot \cdot \cdot ,{X^{(0)}}({F_n}))$

(1)

式中， ${X^{(0)}}({F_k})$ 为某测点在第 $k$ 个张拉阶段的索力值是 ${F_k}$ 时的变形量。

设第 $k$ 与 $k - 1$ 张拉阶段的索力差为 $\Delta {F_k}$ ，即

$\Delta {F_k} = {F_k} - {F_{k - 1}} \ne {\rm{const, }}\;k{\rm{ = 2,3,}} \cdot \cdot \cdot {\rm{,}}\;n$

(2)

令初始值 $\Delta {F_1} = 1$ 。

对TUIGM的原始序列构造一次累加生成式为：

${X^{(1)}}({F_k}) = {X^{(1)}}({F_{k - 1}}) + \Delta {F_k}{X^{(0)}}({F_k})$

(3)

然而，将 $\Delta {F_k}$ 的权值全赋予在 ${X^{(0)}}({F_k})$ 上，这不一定最理想^[13]。因为 $\Delta {F_k}$ 表示 ${X^{(0)}}({F_k})$ 与 ${X^{(0)}}({F_{k - 1}})$ 间的索力差， $\Delta {F_k}$ 的权值宜部分赋予 ${X^{(0)}}({F_k})$ ，其余部分赋予 ${X^{(0)}}({F_{k - 1}})$ 上。引入权重系数 $\alpha $ （ $0 \le \alpha < 1$ ）优化 $\Delta {F_k}$ 的权值分配。那么，优化后的一次累加生成式变为：

$\begin{gathered} {X^{(1)}}({F_k}) = {X^{(1)}}({F_{k - 1}}) + \alpha \Delta {F_k}{X^{(0)}}({F_{k - 1}}) + (1 - \alpha )\Delta {F_k}{X^{(0)}}({F_k}) \\ \end{gathered} $

(4)

令 ${X^{(1)}}({F_1}) = {X^{(0)}}({F_1})$ 。当 $\alpha = 0$ 时，模型很容易退化到TUIGM。

经式（4）进行一次累加后，得到的序列记为：

${X^{(1)}}({F_k}) = ({X^{(1)}}({F_1}),\;{X^{(1)}}({F_{\rm{2}}}), \cdot \cdot \cdot ,{X^{(1)}}({F_n}))$

(5)

然后，由1阶生成模块 ${X^{(1)}}$ 建立灰色模型的微分方程为：

$\frac{{{\rm d}{X^{(1)}}}}{{{\rm d}F}} + a{X^{(1)}} = u$

(6)

式中， $a$ 为发展系数， $u$ 为灰色作用量。

式（6）的解为：

${\hat X^{(1)}}({F_k}) = [{X^{(1)}}({F_1}) - \frac{u}{a}]{{\rm{e}}^{ - a({F_k} - {F_1})}} + \frac{u}{a}$

(7)

由于 ${X^{(1)}}({F_1})$ 、 $a$ 及 $u$ 为定值，令 $q = {X^{(1)}}({F_1}) - u/a$ ，则式（7）变为：

${\hat X^{(1)}}({F_k}) = q[{{\rm{e}}^{ - a({F_k} - {F_1})}} - 1] + {X^{(1)}}({F_1})$

(8)

按照式（4）进行累减还原，得到的拟合值为：

$\begin{aligned}[b] {{\hat X}^{(0)}}({F_k}) = & \frac{{{{\hat X}^{(1)}}({F_k}) - {{\hat X}^{(1)}}({F_{k - 1}}) - \alpha \Delta {F_k}{{\hat X}^{(0)}}({F_{k - 1}})}}{{(1 - \alpha )\Delta {F_k}}} \end{aligned}\!\!\!\!\!\!\!$

(9)

式中， $ k = 2,3, \cdots,n{\text{。}}$ 令 ${\hat X^{(0)}}({F_1}) = {\hat X^{(1)}}({F_1})$ 。

由于式（4）和（9）中的权重系数 $\alpha $ 取值不同，使模型累加和累减过程中生成的序列不同，因此计算得到的拟合值也不同。以拟合值与实测值之差的平方和（令其值为 $e$ ，简称拟合值残差平方和）最小为原则^[14]，即满足式（10）确定预测模型的最佳拟合值，该拟合值对应的权重系数记为最优权重系数 ${\alpha _{{\rm{best}}}}$ 。

${e_{\min }} = \min \left\{ {{e_1},\;{e_2},\; \cdot \cdot \cdot ,{e_i}, \cdot \cdot \cdot ,{e_n}} \right\}$

(10)

式中， ${e_i}$ 为第 $i$ 个权重系数计算得到的拟合值残差平方和，即 ${e_i} = \displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {{{[{X^{(0)}}({F_k}) - \hat X_i^{(0)}({F_k})]}^2}} $ ， $\hat X_i^{(0)}({F_k})$ 为第 $i$ 个权重系数对应的拟合值。

1.2 灰参数求解

假设期望值 ${\hat X^{(1)}}({F_k})$ 与原始值 ${X^{(1)}}({F_k})$ 无限接近，那么累加生成的数列与拟合值之间存在式（11）关系，据此方程组求得灰参数 $a$ 和 $q$ ^[15]。

$\left\{\begin{aligned}& {{X^{(1)}}({F_2}) = {{\hat X}^{(1)}}({F_2}) = q[{{\rm{e}}^{ - a({F_2} - {F_1})}} - 1] + {X^{(1)}}({F_1})},\\& {{X^{(1)}}({F_3}) = {{\hat X}^{(1)}}({F_3}) = q[{{\rm{e}}^{ - a({F_3} - {F_1})}} - 1] + {X^{(1)}}({F_1})},\\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\vdots \\& {{X^{(1)}}({F_n}) = {{\hat X}^{(1)}}({F_n}) = q[{{\rm{e}}^{ - a({F_n} - {F_1})}} - 1] + {X^{(1)}}({F_1})} \end{aligned}\right.\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!$

(11)

求解式（11）方程组，共得到 $(n - 1)(n - 2)/2$ 个 ${a_{ij}}$ ，并计算其平均值 $\bar a$ 为：

$\begin{array}{l}\displaystyle\bar a = \frac{2}{{(n - 1)(n - 2)}}\sum\limits_{i = 2}^{n - 1} {\sum\limits_{j = i + 1}^n {{a_{ij}}} } = \\\displaystyle\frac{2}{{(n - 1)(n - 2)}}\sum\limits_{i = 2}^{n - 1} {\sum\limits_{j = i + 1}^n {\left\{ {\frac{{\ln \displaystyle \left[ {\frac{{{F_j} - {F_1}}}{{{F_i} - {F_1}}} \cdot \frac{{{X^{(1)}}({F_i}) - {X^{(1)}}({F_1})}}{{{X^{(1)}}({F_j}) - {X^{(1)}}({F_1})}}} \right]}}{{{F_j} - {F_i}}}} \right\}} } \end{array}$

(12)

将平均值 $\bar a$ 看作模型的灰参数 $a$ ，并代入式（11），共得到 $(n - 1)$ 个 ${q_i}$ ，计算其平均值 $\bar q$ 为：

$\bar q = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{i = 2}^n {{q_i}} = \frac{1}{{n - 1}}\sum\limits_{i = 2}^n {\left[ {\frac{{{X^{(1)}}({F_i}) - {X^{(1)}}({F_1})}}{{{{\rm{e}}^{ - \bar a({F_i} - {F_1})}} - 1}}} \right]} $

(13)

最后，将平均值 $\bar q$ 看作模型的灰参数 $q$ ，并将 $\bar a$ 、 $\bar q$ 代入式（9），经一次累减还原后，计算得到原始数据拟合值 ${\hat X^{(0)}}({F_k})$ 为：

$\begin{aligned}\!\!\!\!\!\! {{\hat X}^{(0)}}({F_k}) \!\!= \!\!\frac{{\bar q({{\rm{e}}^{ - \bar a{F_k}}} - {{\rm{e}}^{ - \bar a{F_{k - 1}}}}) - \alpha {{\rm{e}}^{ - \bar a{F_1}}}\Delta {F_k}{{\hat X}^{(0)}}({F_{k - 1}})}}{{(1 - \alpha ){{\rm{e}}^{ - \bar a{F_1}}}\Delta {F_k}}}\end{aligned}$

(14)

式中， $k = 2,3, \cdots,n {\text{。}} $ 令 $ {\hat X^{(0)}}({F_1}) = {X^{(1)}}({F_1})$ 。

设残差序列为：

${E^{(0)}}({F_k}) = {X^{(0)}}({F_k}) - {\hat X^{(0)}}({F_k})$

(15)

那么，将 ${F_{k + 1}}$ 和 $\Delta {F_{k + 1}}$ 代入式（14），可得到第 $k + 1$ 个张拉阶段的预测值。

按照一次累加和累减过程生成序列的不同，采用4种模型对主梁变形量进行预测，不同计算模型如表1所示。

表1中：模型1表示预测模型按照TUIGM进行累加和累减；模型2表示按照TUIGM累加生成数列，累减还原时采用IUIWGM；模型3表示按照IUIWGM对原始序列进行累加，采用TUIGM进行累减还原；模型4表示按照IUIWGM进行累加和累减。

主梁变形残差序列具有很强的随机性，采用Markov 链法对预测模型的残差序列进行预测，以弥补灰色模型预测精度不高的缺陷。

2 马尔科夫链修正模型

利用马尔科夫链（Markov chain）^[16]进行预测是根据系统变量的现在状态及其变化趋势，预测其在未来某一特定时间可能出现的状态，从而为决策提供依据。主梁变形量受诸多因素的影响，其增长与否是不能完全确定的，表现出马尔科夫残差预测的性质，具有较强的随机特征，采用马尔科夫残差预测可改善序列的随机特征，优化预测结果。

按照自定义的合理标准将残差序列 ${E^{(0)}}({F_k})$ 划分为 $n$ 种状态，即 ${S\!\!_1},{S\!\!_2}, \cdots\!, {S\!\!_n}$ ，那么 $f$ 步的状态转移概率为：

$p_{ik}^{(f)} = \frac{{N_{ik}^{(f)}}}{{\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {N_{ik}^{(f)}} }}$

(16)

式中， $N_{ik}^{(f)}$ 为残差序列中由 ${S\!\!_i}$ 状态经 $f$ 步到状态 ${S\!\!_k}$ 的个数， $\displaystyle\sum\limits_{k = 1}^n {N_{ik}^{(f)}} $ 为残差序列中处于状态 ${S\!\!_i}$ 的原始数据总数。

设状态转移矩阵为：

${{ P}^{(f)}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{p_{11}^{(f)}}&{p_{12}^{(f)}}& \cdots &{p_{1n}^{(f)}}\\{p_{21}^{(f)}}&{p_{22}^{(f)}}& \cdots &{p_{2n}^{(f)}}\\ \;\;\vdots &\;\; \vdots && \;\;\;\vdots \\{p_{n1}^{(f)}}&{p_{n2}^{(f)}}& \cdots &{p_{nn}^{(f)}}\end{array}} \right]$

(17)

式中， $\displaystyle \sum\limits_{k = 1}^n {P_{ik}^{(f)}} = 1$ 。

一般地，状态区间的划分依据数据序列的平均数和标准差^[14]，区间两端点值的平均值 ${\chi _i}$ 为第 $i$ 个状态区间的中心。将残差序列 ${E^{(0)}}({F_k})$ 分为 $n$ 个状态，考虑 $r$ 步转移过程就用到 $r$ 个转移概率向量，待预测时刻残差状态的概率为这个 $r$ 向量的和，则下一阶段的残差修正预测值为：

$\hat M({F_{k + 1}}) = \sum\limits_{i = 1}^n {{\omega _i}{\chi _i}} $

(18)

式中，

${\omega _i} = \frac{{{\eta _i}}}{{\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^n {{\eta _i}} }}$

(19)

式中， ${\eta _i}$ 为状态的个数， ${\omega _i}$ 为状态权重， ${\chi _i}$ 为状态区间中心。

因此，经过Markov修正后的非等间隔灰色修正模型预测值为：

$\hat X_1^{(0)}({F_{k + 1}}) = {\hat X^{(0)}}({F_{k + 1}}) + \hat M({F_{k + 1}})$

(20)

3 实例分析 3.1 斜拉体系加固主梁变形预测

东明黄河公路大桥主桥采用斜拉体系进行加固，为国内首座采用该加固体系改造的大跨径PC连续箱梁桥。桥塔、主梁与斜拉索的具体连接构造为：桥塔顶部通过安装钢锚箱和滑动索鞍设置斜拉索固定端，在主梁下部横向增设托梁，托梁与主梁之间采用托架在箱梁底面处连接，斜拉索力通过托梁与托架配合传递到主梁上^[3]。短、长索设计索力值分别为2 100 kN和2 700 kN。斜拉索张拉采用8台千斤顶由中塔（61^#和62^#）到边塔（58^#和65^#），从长索到短索的张拉顺序分级对称张拉。东明黄河公路大桥斜拉体系加固示意图如图1所示。

列举了58^#跨中到61^#跨中桥面测点在不同张拉索力下的竖向变形量（桥面抬升为正），如表2所示。选取C2测点前6个张拉阶段（即对应的张拉索力为630～1 785 kN）的实测变形量组成原始序列，分别建立上述4种模型对第7个张拉阶段（即 ${F_7} = 1\;890\;{\rm{kN}}$ ）的主梁变形进行预测。编制主梁变形预测程序时，设置 $\alpha \in [0,0.99]$ ，设定的步长为0.01。经迭代计算，模型2、3和4共得到100组拟合、预测值，以前6个张拉阶段变形量拟合值残差平方和最小为原则，选取最优权重系数 ${\alpha _{{\rm{best}}}}$ 。模型3和模型4的权重系数 $\alpha = 0$ 时，拟合值残差平方和最小值为 ${e_{\min }} = 21.096\;0\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}$ ，拟合、预测结果相同，与模型1计算结果一致；模型2中 $\alpha = 0.30$ 时，拟合值残差平方和最小 ${e_{\min }} = 19.781\;3\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}$ ，各模型的前51次迭代计算结果如图2所示。因此，模型3和4选取 ${\alpha _{{\rm{best}}}} = 0$ 时对应的计算值，模型2选取 ${\alpha _{{\rm{best}}}} = 0.30$ 时对应的计算值，计算结果如表3所示，拟合值与预测值用虚线隔开。

由表3可知，实测值>模型 2预测值>模型1预测值 $=$ 模型3预测值 $=$ 模型4预测值。这是由于：模型2在确定发展系数 $a$ 和灰色作用量 $u$ 后，通过累减还原过程中的权重分配系数建立了前、后张拉阶段变形量之间的关系，优化拟合值序列，从而使预测结果更准确。

模型2的预测精度虽有提高，但相对误差高达12.57%。另外，从表3可以看出，残差序列随机性较强，且规律性不明显。为了进一步提高该预测模型的预测精度，作者采用Markov链法对其预测值 ${\hat X^{(0)}}({F_{k + 1}})$ 进行修正。

根据残差的Markov 链进行状态划分，求解残差的状态转移矩阵 ${{{P}}^{(f)}}$ ，进一步求得Markov 残差预测值 $\hat M({F_{k + 1}})$ ，得到修正后的预测值 $\hat X_1^{(0)}({F_{k + 1}})$ 。

根据残差序列的平均值 $\mu $ 和标准差 $\sigma $ 将残差序列划分为3个状态区间：[ $\mu $ –1.9 $\sigma $ , $\mu $ –0.6 $\sigma $ ]、[ $\mu $ –0.6 $\sigma $ , $\mu $ +0.6 $\sigma $ ]、[ $\mu $ +0.6 $\sigma $ , $\mu $ +1.9 $\sigma $ ]，分别对应状态 ${S\!\!_1}$ ， ${S\!\!_2}$ 及 ${S\!\!_3}$ ，区间应囊括整个残差范围。其中，3个状态区间范围为:[–4.997 7, –1.177 2]、[–1.177 2, 2.349 3]、[2.349 3, 6.169 8]，对应状态如表4所示。

状态转移矩阵为:

${{ P}^{(1)}} = \left[ \begin{gathered} \;\;0\;\;\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\;\;\;0 \\ \;\;\frac{1}{3}\;\;\;\;\;\;\frac{1}{3}\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{3} \\ \;\;0\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;1 \\ \end{gathered} \right],$

${{ P}^{(2)}} = \left[ \begin{gathered} 0\;\;\;\;\;\;\;\;1\;\;\;\;\;\;\;\;0 \\ \;0\;\;\;\;\;\;\;\frac{1}{3}\;\;\;\;\;\;\;\frac{2}{3} \\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;\;0 \\ \end{gathered} \right],$

${{ P}^{(3)}} = \left[ \begin{gathered} \;\;0\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;1\; \\ \;\;0\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2} \\ \;\;0\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;0 \\ \end{gathered} \right]{\text{。}}$

采用前6个张拉阶段的状态转移预测第7张拉阶段的残差值，共3步转移，转移概率如表5所示。

计算状态中心 ${\chi _1} = - 3.087\;4$ ， ${\chi _2} = 0.586\;0$ ， ${\chi _3} = $ $4.259\;5 $ ，则第7个张拉阶段（即1 890 kN）的Markov残差预测值为：

$\begin{aligned} \hat M(1\;890) = & {\omega _1} \cdot {\chi _1} + {\omega _2} \cdot {\chi _2} + {\omega _3} \cdot {\chi _3} = \\&0 \times ( - 3.087\;4) + \frac{1}{4} \times 0.586\;0 + \frac{3}{4} \times 4.259\;5 = \\ &3.341\;2 {\text{。}}\end{aligned} $

那么，由式（20）得到第7个张拉阶段的主梁变形量为：

$\begin{aligned} \hat X_1^{(0)}(1\;890) = & {{\hat X}^{(0)}}(1\;890) + \hat M(1\;890)= 24.507\;3 + \\& 3.341\;2 = 27.848\;5 {\text{。}}\end{aligned} $

同理，对模型1（即TUIGM）的预测值进行Markov残差修正，得到修正后的计算结果为：

$\begin{aligned} \hat X_1^{(0)}(1\;890) = &{{\hat X}^{(0)}}(1\;890) + M(1\;890)= 24.329\;2 + \\& 1.941\;4 = 26.270\;6{\text{。}}\end{aligned} $

从预测结果来看，模型1和模型2经Markov残差修正后预测精度明显提高，前者的相对误差仅为0.65%，预测值更加接近真实值。

为了进一步验证该模型的预测精准度和可靠性，对表2中其余测点的第7个张拉阶段的变形量进行预测分析。不同权重系数对应的拟合值残差平方和关系曲线如图3所示，拟合值残差平方和最小值与最优权重系数见表6。

从表6中可以看出，原始数据列不同，得到的最优权重系数也不同，并非为给定的某一特定权重系数。

表7为不同预测模型下C1～C10测点的预测结果和相对误差。

由表7可知：IUIWGM预测精度高于TUIGM，经Markov链法对残差进行修正后，2种模型的预测精度均有较大程度提高，TUIGM-M的相对误差平均值为5.47%，IUIWGM-M为1.97%，后者提高幅度更大。

为了更加直观地反映出表7中预测模型的实测值和预测值，将表7中数据表示成图4和5所示的图形，其中图4中的预测值相对于实测值的绝对偏差放大了5倍。

3.2 建筑物沉降量预测

根据文献[17−18]中建筑物某测点前8次沉降量实测数据，采用前述的4种模型对第9和第10次（即第140和154 d）的沉降量进行预测。其中，模型2、模型3和模型4的权重系数 $\alpha $ 与拟合值残差平方和 $e$ 的前51次迭代计算结果如图6所示。

由图6可知：模型3和模型4的拟合值残差平方和最小值 ${e_{\min }} = 1.219\;0\;{\rm{m}}{{\rm{m}}^2}$ ，对应的最优权重系数 ${\alpha _{{\rm{best}}}} =$ $ 0$ ；模型2的拟合值残差平方和最小值 ${e_{\min }}= 1.037\;0$ mm²，最优权重系数 ${\alpha _{{\rm{best}}}} = 0.28$ 。各模型最优权重系数对应的建筑物沉降量计算值如表8所示，拟合值与预测值用虚线隔开。

由表8可知：实测值>模型 2预测值>模型1预测值=模型3预测值=模型4预测值；模型2的预测值精度最高，相对误差平均值为9.75%，与模型1、模型3及模型4相比，其值下降了4.36%。

然后，采用Markov链法分别对模型2和模型1的预测值 ${\hat X^{(0)}}(140)$ 和 ${\hat X^{(0)}}(154)$ 进行修正。根据模型2残差序列的平均值 $\mu $ 和标准差 $\sigma $ ，将残差序列划分的3个状态区间范围分别为[–0.514 9, 0.105 7]、[0.105 7, 0.180 9]、[0.180 9, 0.801 6]，则状态中心为 ${\chi _1} = - 0.204\;6$ ， ${\chi _2} = $ $0.143\;3 $ ， ${\chi _3} = $ $ 0.491\;3$ ，对应状态如表9所示。

状态转移矩阵为：

${{ P}^{(1)}} = \left[ \begin{gathered} \frac{3}{4}\;\;\;\;\;\;\frac{1}{4}\;\;\;\;\;\;0 \\ \;\;0\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;1 \\ \;\;0\;\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;1 \\ \end{gathered} \right],\;{{ P}^{(2)}} = \left[ \begin{array}{l}\;\displaystyle\frac{1}{2}\;\;\;\;\;\frac{1}{4}\;\;\;\;\;\;\frac{1}{4}\\\;\;0\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;1\\\;\;0\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;1\end{array} \right],$

${{ P}^{(3)}} = \left[ \begin{gathered} \; \frac{1}{4}\;\;\;\;\;\frac{1}{4}\;\;\;\;\;\;\frac{1}{2} \\ \;\;0\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;1 \\ \;\;0\;\;\;\;\;\;0\;\;\;\;\;\;\;0 \\ \end{gathered} \right]{\text{。}}$

采用前8次沉降量的状态转移来预测第9和第10次沉降量的残差值，共3步转移，转移概率如表10所示。

那么，第9次建筑物沉降量的Markov链法残差预测值为：

$\begin{aligned} \hat M(140) = & {\omega _1} \cdot {\chi _1} + {\omega _2} \cdot {\chi _2} + {\omega _3} \cdot {\chi _3}\; = 0 \times ( - 0.204\;6) + \\& 0 \times 0.143\;3 + 1 \times 0.491\;3 = 0.491\;3{\text{。}}\end{aligned} $

最终，得到的第9次建筑物沉降量预测值为：

$\begin{aligned} \hat X_1^{(0)}(140) = & {{\hat X}^{(0)}}(140) + \hat M(140) = \\& 3.966\;8 + 0.491\;3 = 4.458\;1{\text{。}}\end{aligned} $

同理，经Markov链法修正后的第10次建筑物沉降量预测值为：

$\begin{aligned} \hat X_1^{(0)}(154) = & {{\hat X}^{(0)}}(154) + \hat M(154) = \\& 4.209\;2 + 0.491\;3 = 4.700\;5{\text{。}}\end{aligned} $

另外，对模型1的预测值也进行Markov链法残差修正。各模型的预测结果如表11所示。

由表11可知，经Markov链法对残差进行修正后，2种模型的预测精度均有较大程度提高，后者提高幅度更大，与文献[17–18]预测模型相比，本文所提模型也具有更高的预测精度。

改进非等间隔权重灰色修正模型的核心理论是灰色系统理论，是一种研究“小样本”“贫信息”及“非等间隔”不确定性问题的新方法，对实测数据并无特殊要求和限制，同样适应于其他工程领域的变形预测。

4 结　论

传统非等间隔灰色模型对斜拉体系加固主梁变形进行预测，预测值与实测值偏差较大，预测精度较低。通过引入非等间隔权重系数，优化累减过程的生成序列，可提高模型的预测精度。马尔科夫链法克服了非等间隔灰色模型对采集样本数据随机波动适应能力的不足，经状态转移矩阵对预测结果进行修正，能明显提高了预测模型的精度。与马尔科夫链修正后的传统灰色模型预测结果相比，经累减还原优化后的模型预测精度更高，能够较好地反映斜拉体系加固主梁变形的发展趋势。通过对建筑物沉降量进行预报分析，同样验证了该模型具有较高的预测精度，对各领域的非等间隔序列建模预测问题有一定参考价值。