空气静压主轴由于工作阻力小、低摩擦、高转速、产热少、高精度、无污染等优势被广泛应用于超精密加工过程中^[1]，其运动误差直接影响到加工零件的表面质量、形状精度及粗糙度，研究表明：主轴的回转误差会对精密车削加工形成的零件造成30%～70%的圆度误差，并且所占比例会随着加工精度的提高而增加^[2]，因此研究主轴振动对优化和控制回转精度具有重要意义。主轴系统的动态特性分析与动力学分析是振动分析的基础，通过结合动态性能参数与动力学特性获得主轴的各项运动误差，为振动故障预测与结构优化设计提供依据。陈东菊等^[3]考虑微气体流动的稀薄效应，运用ANSYS仿真对轴承气膜与转子组成的系统进行模态分析与谐响应分析，并通过实验验证了稀薄效应下的固有频率分析更加准确。Zhang等^[4]提出空气静压轴承主轴的五自由度动态数学模型探讨主轴振动的自然机制，发现主轴振动的动态特性包括沿轴向和径向的3个平移频率、1个轴旋转频率（SRF）和1对耦合摆的频率（CTFS）。同时，Zhang等^[5]发现当从加工表面的外侧到中心进行切削时，主轴的倾斜振动对表面形貌影响逐渐消失，而主轴的平移振动会对表面形貌产生巨大的影响。Osborne等^[6]研究了额外供气气体轴承–转子系统的线性动力学系数，仿真了不平衡质量引起的振动响应并与实验结果进行对比验证。Huang等^[7]考虑动态不平衡影响建立空气静压主轴动态模型，并以此表征不平衡引起的主轴运动误差，理论和实验结果证明空气静压主轴误差运动的低频包络现象是主轴振动中两个运动部件在高频下的独特叠加效应。为减少径向误差运动，Cappa等^[8]分析了几种制造误差、轴承参数和进给几何尺寸对气体静压径向轴承径向误差运动的影响，并最终制定设计准则，结果表明增加进气孔的数量是最有效的解决方案。

以上分析研究都是基于气体轴承的动刚度与动阻尼是定值常量时进行的动态分析与振动分析，忽略了轴承动态性能的变化对主轴性能的影响，而实际振动过程中气膜的厚度不断变化，导致气膜的动刚度与动阻尼也在时刻变化，从而影响到主轴的振动。目前，广泛使用摄动法对动刚度与动阻尼进行估计，Al-Bender ^[9]通过动态响应实验证实了摄动法的有效性。Chen等^[10]研究发现由于气体的可压缩性，气体静压轴承的动刚度和阻尼系数表现出非线性频率依赖性，特别是对气隙高度小、供气压力高的超精密气体静压轴承，其非线性动力学行为十分显著。贾晨辉等^[11] 以球面螺旋槽气体动压轴承为研究对象，研究在最大承载力下，气体轴承的瞬态刚度和阻尼的变化规律，研究发现随轴承偏心率的增加，各刚度系数有明显增大的趋势，阻尼系数的变化趋势较缓。Yu等^[12]通过数值模拟和实验研究发现扰动会对气体静压轴承的动态特性造成影响，仿真和实验结果表明，在相同振幅的位移扰动下，随着扰动频率的增大轴向刚度系数增大，而轴向阻尼系数减小。赵广等^[13]建立了空气静压轴承的气膜支承力模型，模拟发现气膜的支撑力变化在低速、小偏心率状态时线性变化线性，而在高速、大偏心率下迅速非线性，同时气体静压轴承的动压效应显著增强。

以上研究均表明气体轴承的动态性能是动态变化的，并且会对主轴的动态性能造成影响。作者通过对轴承动态特性进行数值分析，计算得到随气膜厚度变化而变化的非线性动刚度与动阻尼，综合考虑主轴的自激振动、受迫振动、偏摆振动，建立轴承–转子系统的振动模型，将非线性参数引入到模型的弹簧阻尼单元中，实现气膜与转子之间的非线性耦合振动分析，得到非线性分析与定值分析下的主轴径向振动曲线。最后，搭建主轴回转误差试验台对理论分析进行验证，为主轴振动误差的预测及精度的控制提供了理论参考。

空气静压径向轴承的结构如图1所示，轴套上沿轴向分布4排气腔，每排沿周向均匀布置8个气腔。

图1(Fig. 1)

图1 空气静压径向轴承结构 Fig. 1 Structural of aerostatic journal bearing

供气系统对外部空气进行压缩、干燥、过滤后，压缩空气经由轴套上的进气孔流入轴套上的每个气腔，进而在轴承间隙中形成厚度为 ${h_0}$ 的气膜，最终从径向轴承端部流入大气中。由于气膜具有一定的压力和刚度，所以主轴转子得到支撑和润滑，也限制了主轴的径向自由度。但由于气膜的可压缩性和波动性使主轴在径向上产生位移，影响主轴的回转精度，进而对加工表面的粗糙度、形状及尺寸精度造成影响。研究空气静压主轴的相关参数如表1所示。

表1(Tab. 1)

表1 空气静压径向轴承参数 Tab. 1 Parameters of aerostatic spindle

表1 空气静压径向轴承参数 Tab. 1 Parameters of aerostatic spindle 参数 数值 转子长度 $L$ /mm 100 转子直径 $D$ /mm 50 轴承间隙 ${h_0}$ /μm 12 质量偏心距/μm 0.5 转子密度 $r$ /(g·m–3) 7.85

空气静压轴承的动态特性是指当转子偏离平衡位置并在此位置附近进行小幅振动时气膜压力和性能的变化情况。研究空气静压轴承的动态特性，需要建立不定常工况下的雷诺方程以描述气膜的动态流动。结合空气静压径向轴承的结构和工作原理，动态不定工况下的雷诺方程如式（1）所示：

式中， $p$ 为气膜压强， $h$ 为气膜厚度， $\mu$ 为气体黏度， $U$ 为主轴转速， $t$ 为时间。

为方便计算，将式（1）进行无量纲化表示，令 $x = \theta \cdot R$ ， ${\textit{z}} = {\textit{Z}} \cdot R$ ， $p = P \cdot {p_{\rm a}}$ ， $\varOmega = 12\mu {R^2}/\left( {{p_{\rm a}}{h_0}^2} \right)$ ， $\varLambda = 6\mu \cdot$ $ UR/\left( {{p_{\rm a}}{h_0}^2} \right)$ ， $h = H \cdot {h_0}$ ，其中， $R$ 为轴承半径， ${p_{\rm a}}$ 为大气压强， ${h_0}$ 为轴承间隙，则气膜动态流动模型如式（2）所示：

动刚度和动阻尼是空气静压轴承动态特性的重要表征参数，采用扰动法对气膜动态流动模型进行求解，计算动刚度和动阻尼，扰动量为 $H'$ 和 $P'$ ，如式（3）所示：

式中， ${H_0}$ 为稳态气膜厚度， ${P_0}$ 为稳态气膜压强， $\omega $ 为扰动频率。

将式（3）代入式（2）中，令 ${P_{\rm A}} = {P_0} \cdot {P_1}$ ， ${P_{\rm B}} = $ ${P_0} \cdot {P_2}$ ，将扰动量2次方及其以上的高阶项舍去，经简化可以得到稳态雷诺方程和扰动雷诺方程，如式（4）所示：

通过有限差分法求解稳态方程雷诺方程和扰动雷诺方程，将稳态下求解得出的稳态压强 ${P_{\rm{0}}}$ 、稳态气膜厚度 ${H_{\rm{0}}}$ 等代入扰动方程，得出动态压力与动态气膜间隙，求解式（3）得出 ${P_{\rm{1}}}$ 和 ${P_{\rm{2}}}$ ，将其沿着气膜积分，分别得到动态刚度与动态阻尼系数，如式（5）所示：

式中， ${K_{\rm n}}$ 、 ${C_{\rm n}}$ 为偏心方向的动刚度与动阻尼系数。

空气静压主轴在实际回转运动过程中的任意时刻，由于径向外力和自身重力的作用使径向轴承内的气膜产生波动，进而使主轴实际回转轴线偏离理想回转轴线，从而产生了径向振动误差。如图2所示，由于径向外力 ${F_{\rm r}}$ 和转子重力 $G$ 的作用，转子旋转轴线偏离原位置理想位置。由于偏心质量的自激振动，在转子旋转过程中产生径向的偏心振动位移 ${x_1}$ ；外力 ${F_{\rm r}}$ 引起的受迫振动产生径向的振动位移 ${x_2}$ ，即径向跳动误差；同时由于径向力 ${F_{\rm r}}$ 作用在轴端，会使主轴转子产生偏摆角度振动误差，进而在主轴端部产生 $x'$ 的偏摆振动位移。综上分析空气静压主轴在径向的振动总误差 $\Delta x$ 如式（6）所示：

图2(Fig. 2)

图2 空气静压主轴径向振动误差分析 Fig. 2 Error analysis of radial vibration of aerostatic spindle

空气静压主轴中轴套与转子之间的气膜对转子起到支撑作用，具有一定刚度特性和阻尼特性。因此，可以将气膜简化为弹簧阻尼系统，建立轴承–转子的动力学模型。图3为空气静压主轴的轴承–转子系统模型及其振动受力分析。空气静压径向轴承包括4排均匀分布气腔，将每排气腔分别简化为弹簧阻尼系统。转子简化为集中质量的轴，质心点为O，质量为 $m$ 。弹簧阻尼系统分别编号为1、2、3、4； ${F_1}$ 、 ${F_2}$ 、 ${F_3}$ 、 ${F_4}$ 分别为对应编号的弹簧阻尼力。 ${F_{\rm r}}$ 为径向外载荷， ${F_x}$ 为偏心质量在旋转过程中产生的偏心力， $G$ 为转子的重力。

图3(Fig. 3)

图3 轴承–转子系统 Fig. 3 Bearing-rotor system of aerostatic spindle

假设任意时间 $t$ 时，空气静压主轴径向自激振动和受迫振动位移为 $x$ ，偏摆角度为 $\theta $ ，结合径向振动误差分析和对轴承–转子系统的受力分析，轴承–转子系统的径向振动方程如式（7）所示：

式中， ${J_0}$ 为偏摆转动时的转动惯量， ${M_i}$ 为力 ${F_i}$ 相对于原点O的转矩。

以质心O为原点，建立各弹簧阻尼力及其作用点的位移 ${x_i}$ （ $i$ =1～8）与振动位移和偏摆角度的关系，如式（8）所示：

式中， ${K_i}$ 与 ${C_i}$ 分别为动态刚度系数与动态阻尼系数，由第2.2节中计算得到。

将式（8）代入式（7）中整理得轴承–转子系统的径向动力学振动模型矩阵：

式（9）中，相关参数可由式（10）求得：

因此，空气静压主轴端部的振动误差 $\Delta x $ 为：

通过求解气膜动态流动模型得到其动态刚度与动态阻尼，结果如图4所示。其中， $\varepsilon $ 为气膜厚度变化率， $\varepsilon = \Delta h/{h_0}$ 。由图4可以看出空气静压主轴的动态刚度和动态阻尼随着偏心率的增加呈非线性变化，这说明在转子振动过程中，气膜的刚度和阻尼在时刻变化，所以将非线性的刚度和阻尼系数引入动力学模型更加符合实际情况。

图4(Fig. 4)

图4 动刚度与动阻尼仿真结果 Fig. 4 Simulation results of dynamic stiffness and dynamic damping

将动态刚度与阻尼系数和偏心率之间的关系通过3次多项式拟合，拟合公式如表2所示。则在轴承–转子系统中的动刚度与动阻尼可由式（12）计算得到：

表2(Tab. 2)

表2 动态特性拟合公式 Tab. 2 Fitting formulas of dynamic characteristics

表2 动态特性拟合公式 Tab. 2 Fitting formulas of dynamic characteristics 参数 拟合公式 动刚度Kn $\begin{array}{l}{k_n}(\varepsilon ) = - 24.816{\varepsilon ^3} + 41.15{\varepsilon ^2}+\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 4.092\;1\varepsilon + 21.902\end{array}$ 动阻尼Cn $\begin{array}{l}{C_n}(\varepsilon ) = 0.121\;51{\varepsilon ^3} + 0.071\;259{\varepsilon ^2}-\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; 0.619\;43\varepsilon + 0.741\;02\end{array}$

将动态分析计算得到的动态刚度和阻尼系数代入轴承–转子系统动力学模型，通过MATLAB编程求解模型获得轴承–转子系统在时域上的振动特性。图5为空气静压主轴径向振动误差曲线。

图5(Fig. 5)

图5 空气静压主轴径向振动误差曲线 Fig. 5 Error curves of radial vibration of aerostatic spindle

通过对比非线性动态分析与传统定值分析的振动信号可以得到以下结论：

1）径向跳动误差包括两种形式的振动，在以频率为主轴回转频率的振动过程中同时进行一定幅度的上下振动，这是由主轴转子偏心运动和外载荷 ${F_{\rm r}}$ 造成的。

2）由图5（c）可看出，在供气瞬间转子有一个明显的振动冲击，转子的振幅从零迅速上升至某一值，这体现了主轴从开始供气至稳定供气的过程中转子不稳定的振动特性。

3）非线性分析对径向跳动误差的影响不明显，但对偏角振动误差有明显影响；定值分析时偏角误差的最大振幅基本稳定，但非线性分析时偏角误差的最大振幅存在一个增加过程并最终趋于稳定，其最大振幅明显大于定值分析时振幅。因此，非线性分析主要对主轴的偏角误差造成影响，从而影响径向总误差。

4）在供气开始一段时间内，非线性分析与定值分析下的径向总误差基本一致；随着时间的增加，非线性分析下的最大振幅大于定值分析下的最大振幅。这说明开始供气时非线性分析对径向跳动误差和偏角误差没有造成明显影响，当供气稳定时非线性的动刚度与动阻尼会对主轴转子振动幅度产生明显影响。

为研究振动信号的频率特性，对时域上的振动信号进行傅里叶变换可得幅频曲线，如图6所示。由图6可知：非线性分析最大振幅处的共振频率为964 Hz，定值分析最大振幅处共振频率为986 Hz，非线性分析使最大振幅处的共振频率有所下降；非线性分析和定值分析在频率高于1 500 Hz时，转子的振幅变化都很小，这说明频率大于1 500 Hz之后，转子振动比较稳定，此时气膜的振动频率与固有频率不容易发生共振。

图6(Fig. 6)

图6 振动总误差的频域分析 Fig. 6 Frequency domain analysis of total error

轴承–转子系统的振动是气膜与转子之间的气固耦合振动，气膜动态性能的非线性变化对转子振动起到重要作用，因此需要试验探究其对主轴振动的影响。试验以JZ4511精密主轴轴线为基准，安装精密测量半圆球，运用电感式传感器，采用半径比较法原理进行径向振动误差测量，振动信号由圆度测量仪信号调整箱采集处理后在显示器中输出。试验装置如图7所示。空气压缩机对主轴系统进行供气，供气压力为0.5 MPa，分别对转速为50、150、200 r/min时的径向回转误差进行测量。

图7(Fig. 7)

图7 回转误差测试装置 Fig. 7 Rotary error testing device

图8对比了不同转速时在非线性分析、定值分析和实验测试3种情况下的空气静压主轴径向回转误差。通过图8的对比可以看出非线性分析下的回转误差值更加接近实验测量值。为计算理论分析值与实验分析值之间的误差率，分别将非线性分析和定值分析得到的回转误差值与试验测量值之差比上测量值，得到不同转速下的误差率如表3所示，由表3结果得出在不同转速下非线性分析得到的回转误差的误差率比定值分析得到的误差率减小了1.43%～6.54%。

图8(Fig. 8)

图8 回转误差对比 Fig. 8 Comparison of rotary errors

表3(Tab. 3)

表3 回转误差的误差率 Tab. 3 Error rates of rotation errors

表3 回转误差的误差率 Tab. 3 Error rates of rotation errors 分析类型 误差率/% 50 r/min 100 r/min 200 r/min 非线性分析 6.67 5.75 7.94 定值分析 13.21 11.55 9.37

针对空气静压主轴的振动特性，建立轴承–转子系统模型对主轴径向振动误差进行分析，通过扰动法得出轴承非线性的动态性能参数，进行非线性下的主轴振动分析，实现了气膜与转子之间的非线性耦合分析，从而实现了主轴径向回转误差的预测与分析。最终通过主轴回转误差测量试验对理论分析进行验证，实验结果表明：非线性分析下的回转误差更加接近实验测量值，非线性分析下回转误差的误差率比定值分析的误差率减小了1.43%～6.54%，为主轴振动预测和分析提供了依据。