水流流经柱体时，受压力梯度作用在近柱体端减速并向床面流动继而回流，逆向射流与来流相互作用会在柱体基部前端产生涡旋^[1]，涡旋具有较大的剪切力致使柱体基部产生局部冲刷、侵蚀^[2]，该涡旋的运动形状似马蹄形，因而称之为马蹄涡^[3]。浅薄层低雷诺数水流绕流圆柱体模型常见于河岸消落带、侵蚀沟、坡面漫流下水流绕植被运动，对该水流条件下柱体前端马蹄涡的研究可为相应工程科学布设防冲措施、测算侵蚀提供科学依据。

由于马蹄涡对实际工程的重要性，早在1989年Dargahi^[4]利用氢气泡显示技术开展了柱体前端马蹄涡的研究，并提出了水流经过柱体前端时马蹄涡的发生发展过程，其发展由开始阶段的5个涡旋变成稳定阶段的3个涡旋，并对前端流速、压力系数等进行了测量。随着测量手段及计算技术的大幅提升，研究者们对马蹄涡进行了更加深入及细致的观测。Graf等^[5]采用AVD测量了两组水流条件下上游流速特征、流动分离点及马蹄涡位置进行了测量；Ozturk等^[6]使用PIV对雷诺数变化范围为750～9 600的3组试验，通过对时均流场的分析阐述马蹄涡位置、形态随柱体雷诺数变化关系；陈启刚等^[7–9]使用高频PIV系统测量了6组水流条件下柱体前端来流的流速、水位及马蹄涡运动学特征。受技术限制目前对浅薄层低雷诺数（水深小于柱体直径）条件下柱体绕流的研究报道较少。Akilli等^[10]采用流动显示技术测量浅层水流绕柱体流动对背水部分的涡旋特征；Fu等^[11]采用PIV测量了3组水流条件下展向的水流特征，对背水部的涡街进行了详细的测量。这些浅层水流的研究尚未关注柱体前端马蹄涡的运动学特征，因此仍需要进一步的试验认识该种水流条件下马蹄涡的运动状态。

作者通过在明渠水槽中开展柱体绕流试验，控制上游来流水深在5 mm范围内，使来流水深h小于柱体直径D。通过增加PIV镜头的接圈构建一套高分辨率的PIV测量柱体前端的流场，并对大量流场进行时均，进而计算出柱体前端马蹄涡的时均特征，重点关注马蹄涡的位置、半径及强度等运动学特征，以期补充在浅薄层水流下对马蹄涡的认识。

试验于北京林业大学水土保持学院水蚀机理与过程实验室的高精度明渠水槽中开展，玻璃水槽长为12 m，宽0.3 m，深0.3 m，坡度可调范围为0～1.5%。水槽系统由供水段、试验段及集水段组成，流量的控制与测量由供水段的变频器、水泵、电磁流量计完成。水槽出水口放置有蜂窝状PVC管，以稳定水流。水槽沿程等间距分布6个超声波水位计测量水槽沿程的水位变化，并在水槽尾端设置尾门，调节尾门可以使水流达到均匀流条件。本试验采用直径D为1 cm和2 cm的黑色聚乙烯管作为柱体，该种材料柱体能够有效避免片光在柱体表面形成高光溢出从而影响图像质量，柱体高10 cm以保证圆柱高于水面。测量位置为保证来流稳定且不受出口影响，垂直粘于距水槽入口7 m处并处于横断面的中点位置。如图1所示，为观测来流特征，观测窗口的选取参照前人试验^[4,7]，选取前方柱体对称面（即柱体中轴的纵垂面），并定义柱体上游端点为坐标零点（图1中“O”），顺水流方向为 $x$ 轴，沿水深向上为 $y$ 轴，分别对应于相应方向的流速为 $u$ 、 $v$ 。本试验共在6种水流条件下绕流，水流条件详见表1，雷诺数变化范围为800～1 100，而柱体雷诺数变化范围为1 600～4 500。所有试验组次的水流宽深比 $B/h$ 皆大于5，因此上游是准2维流动^[12]。所有工况下 $D > h$ ，可认为水流条件是浅薄层水流^[10]。试验用精度为0.1 ℃的温度计观测水流温度，进而计算动力黏滞力系数 $\nu $ 。

图1(Fig. 1)

图1 试验示意图 Fig. 1 Schematic diagram of experimental set-up

表1(Tab. 1)

表1 水流条件及PIV参数 Tab. 1 Flow conditions and parameters of PIV

表1 水流条件及PIV参数 Tab. 1 Flow conditions and parameters of PIV 试验 组次 流量 $Q$ /(L·s–1) 直径 D/cm 水槽坡度 $S$ /% 来流平均流速 $U$ /(m·s–1) 来流水深 $h$ /cm 雷诺数 $Re$ 柱体雷诺数 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 弗汝德数 $Fr$ 相机频率 $f$ /Hz A 0.24 1 0.05 0.148 0.54 875 1 620 4.48 221 B 0.32 1 0.15 0.209 0.51 1 169 2 292 3.56 221 C 0.24 1 0.10 0.138 0.58 879 1 515 4.99 221 D 0.24 2 0.10 0.157 0.51 879 3 446 4.11 221 E 0.23 2 0.05 0.153 0.50 845 3 376 4.08 221 F 0.28 2 0.15 0.194 0.48 1 051 4 379 3.48 221

流场的拍摄采用高频粒子图像测速仪进行测量，本试验拍摄的水流水深为毫米量级，因此需要高分辨率的摄像系统。作者利用微距摄像技术，即增加近摄接圈，放大所测流场，构建了高分辨率粒子示踪测速技术（HR-PIV）^[13]，图1为本试验的装置示意图。实际图像的分辨率达63 像素/mm。HR-PIV由8W Nd:YAG半导体连续激光器和像素为640 $ \times $ 480、频率为221 Hz的高速CCD相机组成。为获得高质量的激光片光，将激光器生成的光束调整为厚度小于1 mm、宽度为3 cm的矩形片光。加入水体的示踪粒子为与水密度相近的空心玻璃微珠（平均直径为10 μm、密度1.06 $ \times $ 10³ kg/m³）。本试验共拍摄20 000张图像，为保证连续两帧流场相互独立，根据来流流速确定一对流场间间隔为20帧图片，共获取独立流场1 000帧，流场计算窗口像素为16 $ \times $ 16，水平与垂直重合率为50%使得流速矢量之间的间隔为8像素，迭代次数为3次。由于在本试验条件下镜头拍摄距离有限（实际拍摄范围在横向只有1 cm），在实际操作过程中以标定尺为基准移动相机至上游相邻的1 cm范围内，因此本试验拍摄到的范围为柱体前端2 cm（图1）。

柱体前端存在侵蚀力较强的涡旋，通常涡量按照定义进行计算为 ${\omega } = \displaystyle\frac{{\partial v}}{{\partial x}} - \displaystyle\frac{{\partial u}}{{\partial y}}$ ，但是该方程不能区分背景剪切与涡旋剪切，在实际应用中受到限制。Zhou等^[14]提出的旋转运动角速度 ${\lambda {\rm _{ci}}}$ 能够较好地避免应用定义计算涡量的问题，因此在实际中受到广泛的应用^[15–17]。设空间中一点的流速梯度矩阵 ${M}$ 可表示为：

${\lambda {\rm _{ci}}}$ 是该矩阵特征值的虚部，在2维平面下计算方法为：

式中，P、Q分别为第1不变量和第2不变量：

当2维流场中任意一点 ${\lambda {\rm _{ci}}}$ 不为0时，表明该点周围的流体呈螺旋形运动， ${\lambda {\rm _{ci}}}$ 的大小表示流体质点的旋转强度。通过柱体前端具有涡旋运动局部流场的方向即可判别涡旋运动的方向。

由于涡结构与背景流动之间关系的复杂性，受流体黏性的影响，难以明确区分涡结构与背景流动之间的界限，因此目前尚未有统一的方法确定涡旋尺度。关于涡旋尺度的提取方法，目前的一种方法是根据涡旋特征（涡量、旋转强度）的等值线代表涡旋的尺度^[5,8,18]，即选取涡旋特征量的一定值作为阈值确定涡旋与背景流动间的界限，然而该方法在选取阈值时，具有主观性；另一种涡旋尺度提取方法是寻找涡旋中心至边界范围速率增加的最大点处作为涡旋与背景流动的界限^[17]，该方法具有一定的局限性，即流动只受涡旋的影响，而当具有其他因素（例如圆柱）影响流动时难以找到临界点。

为了提取马蹄涡的尺度，作者参照前人的研究思路^[19–20]，使用标准模式的涡旋与涡核附近流场进行拟合，通过拟合后的流动方程参数获得涡旋的尺度信息。在浅薄层水流绕流圆柱时，柱体前端马蹄涡受床面剪切力影响较大，因此作者选择标准Oseen涡叠加纯剪切流动模拟实际流动^[8]。

根据Oseen涡在笛卡尔坐标系下的表达和与床面相交角度为 $\theta $ 的纯剪切流动在笛卡尔坐标系下的表达叠加构造马蹄涡的表达式，如下：

式（5）、（6）中， $\varGamma $ 为速度环量， $R$ 为半径， $k$ 为剪切率。上述方程满足流动的控制方程。将涡核附近流场数据进行非线性最小二乘拟合，拟合为上述方程形式，提取相对应的参数表征马蹄涡。图2为实测流场与计算流场的对比，表明拟合效果较好。

图2(Fig. 2)

图2 实测流场与拟合流场对比 Fig. 2 Compared of simulated and measured fields

由于柱体与边界层的逆压作用，导致柱体前端的流体回流，与上游来流间形成流向流速为0的流动分离点，柱体前端的马蹄涡被限制在流动分离点下游范围，鉴于马蹄涡对床面的冲刷作用^[21–22]，找到流动分离点可为实际工程防冲设施的布设提供科学依据。由于流动分离点极靠近床面，采用以下方法获得流动分离点位置：根据实际所测得的流场，记录第1层测点与第2层测点 $x$ 方向流速由正变负的点位置，再由该两点线性外插至床面获取流动分离点 ${x_{\rm s}}$ 。

图3为无量纲化的流动分离点 ${x{\rm _s}}/D$ 随着柱体雷诺数 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 的变化关系，图3中还包含了文献[4–6，8]的实测数据和文献[23]数值模拟数据。试验研究均在深水中开展，柱体直径小于水深。在本试验条件下，随着柱体雷诺数的增加，在同一直径下 ${x{\rm _s}}/D$ 值急剧减小，表明随着流动紊动增加，流体动能增加，迫使流动分离点急剧向下游移动，流动分离区受到强烈的压缩。对比本文与前人关于 ${x{\rm _s}}/D$ 与 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 变化关系的研究数据，实测数据与数值模拟在1 000< ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ <5 000时较吻合， ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 较大时数值模拟值大于实测值，但变化趋势大致相同。图3表明 ${x{\rm _s}}/D$ 与 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 变化分为3个阶段：当 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ <500时，此时流态为层流，两者正相关；当层流转戾为紊流后随着 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 增加， ${x{\rm _s}}/D$ 急剧减小；当 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ >8 000（通过实测点判断），流动分离点缓慢向下游移动，分离区被限制的程度并没有像低雷诺数一样剧烈。

图3(Fig. 3)

图3 流动分离点位置随柱体雷诺数变化关系 Fig. 3 Relationship between location of separation point and cylinder Reynolds number

水深是影响流动分离点的重要因素。 ${x{\rm _s}}/D$ 与 $h/D$ 的变化关系，如图4所示，图4中表明本文实测 ${x{\rm _s}}$ /D随 $h/D$ 增加急剧增加，说明随水深增加流动的分离提前。文献[23]数值模拟结果表明（图4中实线）：当 $h/D$ 小于1时 ${x{\rm _s}}/D$ 与 $h/D$ 成正相关； $h/D$ <0.5时， ${x{\rm _s}}/D$ 随 $h/D$ 的增长而快速增长；而当 $h/D$ >0.5时，增长趋势变得缓慢；当 $h/D$ >1时， ${x{\rm _s}}/D$ 保持不变，说明此时水深对流动分离点已无影响，图4的明渠水流实测数据点与该结果相符。然而，本文在浅薄层中获取到的 ${x{\rm _s}}/D$ 显著大于其他文献在深水中的研究数据且与数值模拟结果差异较大，表明浅薄层水流的流动分离点的变化具有其独特的特征，但目前尚未有合理的解释，仍需开展更多的薄层水流绕流试验。

图4(Fig. 4)

图4 流动分离点位置随水深的变化关系 Fig. 4 Relationship between location of separation point and depth

通过 ${\lambda _{{\rm ci}}}$ 的方法可以有效识别柱体前段的马蹄涡（图5），但该方法并不能识别旋转方向，结合流线的方向即可判断涡旋的方向。对比 ${\lambda _{{\rm ci}}}$ 方法与流线标示的位置，发现 ${\lambda _{{\rm ci}}}$ 识别的马蹄涡位置比流线识别的更加靠近柱体，原因是流线识别的位置是马蹄涡与背景剪切共同作用的结果。在本试验条件下，马蹄涡发生的位置在柱体前端床面内，图5中绘制了柱体前端1 cm窗口的结果，如图5所示，所有组次在柱体前端皆识别出3个涡旋和水面处2个涡旋，并在图5中标示了靠近床面的3个涡旋。V1、V2是顺时针流向的涡旋，V3是逆时针流向涡旋。由于V3影响范围小，本文方法识别不出该涡旋的参数，因此在下述讨论中只对主马蹄涡V1和次生马蹄涡V2分析。

图5(Fig. 5)

图5 马蹄涡识别 Fig. 5 Horseshoe vortex system extraction

根据旋转强度的 ${\lambda _{{\rm ci}}}$ 峰值点即可确定马蹄涡的位置^[11]， ${\lambda _{{\rm ci}}}$ 最大值点的横纵坐标即代表马蹄涡的横坐标 ${x{\rm _c}}$ 和纵坐标 ${y{\rm _c}}$ 。图5为本文6组试验工况下V1、V2的横纵向位置及文献[4–6，8]中主马蹄涡V1的数据，在上述文献研究中未对次生马蹄涡V2探讨。在本文的工况下，V2比V1更远离柱体端，更接近于床面，V1、V2的纵向相对位置 ${x_{\rm c}}/D$ 随着 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 的增加急剧减小。对比分析本文主马蹄涡V1与前人研究数据， ${x{\rm _c}}/D$ 随着 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 的变化（图6（a））分为两个阶段：在较小雷诺数， ${x{\rm _c}}/D$ 随 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 呈幂指数下降的关系，回归方程为 $ {x{\rm _c}}/D =$ $ 48.68R{e{\rm _D}}^{ - 0.68}$ ；大约 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ >5 000后， ${x{\rm _c}}/D$ 随着柱体雷诺数保持不变，纵向位置维持在0.17D左右。马蹄涡的垂向位置 ${y{\rm _c}}/D$ 与纵向位置变化相似（图6（b））：在较小 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 下 ${y{\rm _c}}/D$ 随着柱体雷诺数的增加而幂指数减小，马蹄涡逐渐向床面靠近；当 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ >5 000时， ${y{\rm _c}}/D$ 维持稳定。陈启刚等^[8]的研究结果显示， ${y{\rm _c}}/D$ 稳定在0.06D。

图6(Fig. 6)

图6 马蹄涡纵向及垂向位置随柱体雷诺数变化关系 Fig. 6 Relationship between location of horseshoe voretex and cylinder Reynolds number

从马蹄涡半径与柱体雷诺数的变化关系来看（图7），次生马蹄涡V2的影响范围显著小于主马蹄涡V1的影响范围。两个涡旋的半径与其位置表现出同样的现象：当 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 较小， $R/D$ 随着 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 的增加急剧减小，表明涡旋的大小被压缩；当 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ >5 000后，其半径保持稳定形状不再变化，陈启刚等^[8]的研究结果显示稳定在0.04D左右。旋转强度 ${\lambda _{{\rm ci}}}$ 的大小一定程度上可以表示水流对床面的冲刷强度^[8]，研究马蹄涡的旋转强度大小具有重要意义。图8为马蹄涡的最大旋转强度 ${\lambda _{{\rm ci}}}$ 随柱体雷诺数的变化关系。显然主马蹄涡V1始终强于次生马蹄涡V2。 ${\lambda _{{\rm ci}}}$ 表现出与 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 呈幂指数增长的关系，在小 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 时增长较快而后增长缓慢，但目前旋转强度的数据点较少且范围较小，其随 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 总的变化关系仍需较大雷诺数范围的试验研究。

图7(Fig. 7)

图7 马蹄涡半径随柱体雷诺数的变化关系 Fig. 7 Relationship between radius of horseshoe vortex and cylinder Reynolds number

图8(Fig. 8)

图8 旋转强度随柱体雷诺数的变化关系 Fig. 8 Relationship between swirling rate of horseshoe voretex and cylinder Reynolds

图9为主马蹄涡V1的 ${x{\rm _c}}/D$ 、 ${y{\rm _c}}/D$ 、 $R/D$ 随 $h/D$ 的变化关系（次生马蹄涡V2与V1变化相似，因此在图9中只描绘了V1的变化），与 ${x{\rm _s}}/D$ 的变化规律一致，皆随 $h/D$ 的增加而增加。本文的数据点集表明，当柱体直径保持不变时，随着水深的增加，V1向远离柱体端及向水面运动，且V1的半径变大。文献[8]的 ${x{\rm _c}}/D$ 、 ${y{\rm _c}}/D$ 、 $R/D$ 不随 $h/D$ 变化，表明水深的影响甚微。此外，对于浅薄层流下马蹄涡的 ${x{\rm _c}}/D$ 、 ${y{\rm _c}}/D$ 、 $R/D$ 显著大于明渠水流条件（图9）。

图9(Fig. 9)

图9 主马蹄涡位置及半径随水深变化关系 Fig. 9 Relationship between both location and radius of horseshoe vortex and cylinder Reynolds number

水流流经圆柱体，其前端会产生冲刷床面的马蹄涡，在流动过程中该涡旋是动态变化的。参照文献[4]对马蹄涡产生的阐述，作者认为在浅薄层水流稳定后，发生如图10所示的马蹄涡模型。水流达到柱体前端时由于逆压作用，来流流速减小并在柱体前端改变方向，会产生向上流动的流体致使水面抬升，以及冲向床面的流体并向上游回流，在回流的过程中受来流的影响流速逐渐减小至0产生 ${x{\rm _s}}$ ；随后在柱体前端产生主马蹄涡V1，受流体黏滞性影响及流体涡量守恒的原理，V1的产生随即产生逆时针的涡旋V3，同理顺时针的次生马蹄涡V2也随之产生。浅薄层水流绕流圆柱对比明渠水流绕流，当柱体直径不变时， ${x{\rm _s}}$ 、 ${x{\rm _c}}$ 、 ${y{\rm _c}}$ 、R与h成正比，而对于明渠而言以上参数与水深关系不大（因水深一般大于柱体直径），且 ${x{\rm _s}}/D$ 、 ${x{\rm _c}}/D$ 、 ${y{\rm _c}}/D$ 、 $R/D$ 在薄层水流条件下大于明渠水流条件下。

图10(Fig. 10)

图10 柱体前端马蹄涡模型 Fig. 10 Model of horseshoe vortex

作者从时间平均的角度分析了低柱体雷诺数条件到高柱体雷诺数下前端流动分离区、马蹄涡的位置、形状及强度的变化特征，实测点数据表明流动分离点及马蹄涡特征的变化呈现两个阶段，在 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 较小时各个参数与 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 的关系密切，而当 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 增加到一定值时变化则不明显。但时间平均会忽略涡旋随时间的变化特征。Wei等^[24]通过试验研究了不同柱体雷诺数下马蹄涡随时间的变化关系，发现当 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ >5 000后主马蹄涡发生震荡并与上游涡旋合并，而当 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ >8 000后流动分离点处不再规律产生涡旋而变得不稳定。其临界值与本文的结果相近，表明马蹄涡的特征与其运动规律保持一致。对比发现：1）当500< ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ <5 000，随着 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 增加， ${x{\rm_s}}/{\text{D}}$ 急剧减小， ${x{\rm _c}}/D$ 、 ${y{\rm _c}}/D$ 、 $R/D$ 急剧减小，而此时流动分离点处周期性的产生V2，并向下游运动周期性的形成V1；2）当5 000< ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ <8 000，随着 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 增加， ${x{\rm _s}}/D$ 急剧减小，马蹄涡的各项参数维持稳定，此时流动分离点处仍周期性的产生V2，但V1发生来回震荡并提前与上游涡旋合并产生新的V1；3） ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ >8 000， ${x{\rm _s}}/D$ 缓慢减小，马蹄涡的各项参数维持稳定，此时流动分离点处不稳定且不周期性产生V2，V1仍来回震荡。但本研究给出的只是大概范围，转悷点需更精确的试验获取。此外，文献[23]数值模拟结果表明当 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ <500，流动分离点与 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 呈正相关，马蹄涡的特征也应呈现不同的规律，仍需要后续试验证明。

作者在明渠水槽中开展浅薄层水流条件下圆柱绕流试验，共开展6组次且所有试验组次的水深在5 mm左右，柱体直径皆小于水深，且柱体雷诺数变化范围在1 600~4 400。为研究该种条件下柱体前端马蹄涡的特征，构建了高分辨率高频PIV对柱体前端的流场进行测量，共测得1 000对独立流场。通过对瞬时流场时间平均测得流动分离点和马蹄涡的结构，进而通过旋转强度计算、涡旋模拟，提取了马蹄涡的位置、半径、旋转强度等特征，得出如下结论：

1）在低柱体雷诺数条件下（1 600< ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ <4 400），随着柱体雷诺数的增加流动分离点和马蹄涡的纵向位置皆急剧向下游运动，马蹄涡的垂向位置减小逐渐靠向床面，马蹄涡半径变小但其旋转强度变强。

2）在浅薄层水流条件下（0.48< $h/D$ <0.58），当柱体直径不变时，随着水深增加，流动分离点和马蹄涡的纵向位置向上游运动，马蹄涡的垂向位置和半径增加，且显著大于明渠水流条件下。

3）与前人的研究数据对比，发现马蹄涡的运动状态呈3个阶段：500< ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ <5 000，流动分离点、马蹄涡纵垂向位置、半径与 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 呈反比，与马蹄涡旋转强度呈正比；5 000< ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ <8 000，流动分离点仍与 ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ 呈反比，马蹄涡各项参数稳定； ${{\mathop{Re}\nolimits} _{\rm{D}}}$ >8 000，流动分离点缓慢向下游移动，马蹄涡参数稳定，主马蹄涡的纵向位置稳定在0.17 $D$ 、垂向位置在0.06 $D$ ，半径大小在0.04 $D$ 左右。