桩基础在港口码头及桥梁工程中应用非常广泛。为满足承载、变形及稳定性要求，桩基往往需要嵌入到一定深度的基岩中，从而形成嵌岩桩^[1–2]。有关其嵌入深度，一直是学术和工程界均比较关注的问题。因此，自20世纪以来，许多学者对其开展了一些有益的研究，如：Pells等^[3]提出了确定嵌岩深度的两种方法；Radhakrishnan等^[4]分析了嵌岩桩的荷载传递特性，推导了嵌岩深度计算方法；Dai等^[5]根据120根实际工程桩的载荷试验结果，分析了岩石单轴抗压强度对基桩最佳嵌岩深度的影响；Xing等^[6]发现嵌岩深度达3.5倍桩径后桩端阻力且桩顶沉降最小；刘树亚等^[7]认为满足沉降和承载力的前提下，如果桩岩模量同量级且界面胶结较好，嵌岩深度越浅越有利；宋仁乾等^[8]通过试验研究了端阻比与嵌岩深度的关系，认为软土地基中的基桩不存在最大嵌岩深度；雷勇等^[9]提出了一种按桩顶沉降量确定嵌岩深度的计算方法；何杰等^[10]根据桩身稳定计算方法，分析了风化花岗岩基桩的最佳嵌岩深度。上述研究在确定嵌岩桩嵌固深度时，主要是从基桩竖向承载力和沉降两方面确定基桩的嵌固深度。然而实际工程中，基桩除承受竖向荷载外，还需承受较大的水平荷载。因此，在确定嵌岩深度时，还应考虑嵌岩段的水平极限承载特性。为此，赵明华等^[11–12]提出了一种确定桥梁基桩嵌岩深度的新方法，弥补了规范方法过于保守的不足，但其在分析嵌岩段基桩极限承载力时，并未考虑岩体破坏特征；雷勇等^[13]基于Hoke–Brown强度准则，分析了嵌岩段桩侧岩石水平极限承载力，获得了嵌岩桩嵌岩深度计算公式。但该计算公式忽略了基岩顶面处水平力，而仅考虑基岩顶面处弯矩作用。为反映嵌岩桩真实受力状况，在确定其嵌固深度时，既要考虑桩侧岩石的破坏特征，还应考虑基岩顶面水平力和弯矩的共同作用。

鉴于Hoek–Brown强度准则可以反映岩体非线性破坏特征以及结构面和应力状态对强度的影响^[14–15]。作者拟从嵌岩段桩侧岩石水平极限承载角度出发，根据Hoek–Brown强度破坏准则及静力平衡原理，建立考虑基岩顶面水平力和弯矩的共同作用的嵌岩桩嵌固深度简化计算模型，据此导出嵌岩桩最小嵌岩深度计算公式，进而探讨各设计参数对基桩嵌岩深度的影响。

1 计算模型及破坏准则 1.1 简化计算模型建立

对于轴横向受荷嵌岩桩，主要考虑嵌岩段桩侧岩石水平极限承载特性，并忽略轴向荷载对嵌岩段桩身内力与变形的影响，从而可建立如图1所示的简化计算模型，据此分析轴横向受荷嵌岩桩的最小嵌岩深度。

图1中， $H$ 、 $M_{\rm H}$ 分别为基岩顶面处水平力和弯矩， $\sigma $ ₁、 $\sigma $ ₃分别为最大、最小主压应力， $\sigma $ 为桩侧法向正应力， $\tau $ 为桩侧切向剪应力， $d$ 为桩径， $h_{\rm r}$ 为嵌岩深度， $p$ 为嵌岩段桩侧岩石水平抗力。

1）嵌岩桩由于水平力作用而产生水平转动，嵌岩段桩侧岩石受到桩前法向正应力和桩侧切向剪应力共同作用。假定嵌岩段桩侧岩石水平抗力自上而下随深度呈现线性变化，如图1所示，且满足如下关系：

$p = - \eta {\textit{z}} + \kappa $

(1)

式中： $\eta $ 、 $\kappa $ 为待定系数， $\kappa /\eta $ 为桩侧水平抗力零点； ${\textit{z}}$ 为自基岩顶面算起的基桩嵌入深度，0≤ ${\textit{z}}$ ≤ $h$ _r。

2）以圆形桩为例，如图2所示，在水平荷载作用下，基岩顶面处桩侧法向应力 $\sigma $ 和切向剪应力 $\tau $ 分别为：

$\sigma = {\sigma _{\rm{m}}}\cos \,\alpha $

(2)

$\tau {\rm{ = }}{\tau _{\rm{m}}}\sin\;2\alpha $

(3)

式中， $\sigma $ _m、 $\tau $ _m分别为基岩顶面处桩侧最大法向应力和最大切向剪应力， $\alpha $ 为桩侧各点到桩身中心连线与基桩水平轴心线间的夹角。

3）根据图1和2中的几何关系，可知基岩顶面处桩侧岩石水平极限抗力是由桩侧总法向应力 $p$ _n和总水平摩阻力 $p_\tau$ 两部分组成，其计算式为：

${p_{\rm{n}}}{\rm{ = 2}}\int_0^{\textstyle\frac{{\text{π}} }{2}} {\frac{d}{2}{\sigma _{\rm{m}}}} {\cos ^2}\;\alpha {\rm{d}}\alpha {\rm{ = }}\frac{{\text{π}} }{4}d{\sigma _{\rm{m}}}$

(4)

${p_{\rm{\tau }}}{\rm{ = 2}}\int_0^{\textstyle\frac{{\text{π}} }{2}} {\frac{d}{2}{\tau _{\rm{m}}}} \sin (2\alpha )\cos \,\alpha {\rm{d}}\alpha = \frac{2}{3}d{\tau _{\rm{m}}}$

(5)

根据式（4）和（5）可得桩侧岩石总水平极限抗力 $p$ _u为：

${p_{\rm{u}}} = {p_{\rm{n}}} + {p_{\rm{\tau }}} = d\left( {\frac{{\text{π}} }{4}{\sigma _{\rm{m}}}{\rm{ + }}\frac{2}{3}{\tau _{\rm{m}}}} \right)$

(6)

由式（6）可知，要计算桩侧岩石总水平极限抗力 $p$ _u必须根据相应的岩石破坏准则确定其总法向应力 $\sigma $ 和总切向剪应力 $\tau $ 。

1.2 Hoek–Brown破坏准则

不同围压下所有应力圆的外包络线就是给定正应力下岩石所能承受的最大剪应力，其与所有应力圆均具有相同的切线，如图3所示，其可表示为^[15]：

${\tau _{\rm{s}}} = g(\sigma )$

(7)

由图3可得到岩石破坏时最大主应力与最小主应力之间的函数关系：

$\frac{{{\sigma _1} - {\sigma _3}}}{2} = \frac{{{\tau _{\rm{s}}}}}{{\cos \,\beta }}$

(8)

$\frac{{{\sigma _1}{\rm{ + }}{\sigma _3}}}{2} = \sigma {\rm{ + }}{\tau _{\rm{s}}}\tan \,\beta $

(9)

Hoek–Brown破坏准则对应的大、小主应力之间的关系为^[14–15]：

${\left( {{\sigma _1}{\rm{ - }}{\sigma _3}} \right)^2} = {\sigma _3}{\sigma _{\rm{c}}}m + \sigma _{\rm{c}}^2s$

(10)

式中， ${\sigma _{\rm{c}}}$ 为岩石单轴抗压强度， $m$ 、 $s$ 是与岩体类型、完整性、风化程度等因素有关的参数。通常情况下， $m$ 、 $s$ 可根据岩体地质力学分类指标RMR（以下简称分类指标）以及类型参数 $m$ ₀确定：

$m = {m_0}\exp \frac{{RMR - 100}}{a}$

(11)

$s = \exp \frac{{RMR - 100}}{b}$

(12)

式中： $m$ ₀为完整岩块的 $m$ 值； $a$ 、 $b$ 为与岩体扰动程度有关的系数， $a$ =28–14D， $b$ =9–3 $D$ ； $D$ 为岩石扰动系数^[14]，0≤ $D$ ≤1；当岩体为完全扰动时， $D$ =1，此时 $a$ =14， $b$ =6；当岩体为未扰动时， $D$ =0，此时 $a$ =28， $b$ =9。具体计算时，应根据实际工程中桩基施工对桩侧岩石的扰动程度确定岩石扰动系数 $D$ 的取值，进而确定 $a$ 、 $b$ 的取值。

为推导Hoek–Brown破坏准则的摩尔强度外包络线，将Laber变量 $p = ({\sigma _1} + {\sigma _3})/2$ 及 $q = ({\sigma _1} - {\sigma _3})/2$ 代入式（10）可得：

${\left( {q + \frac{{m{\sigma _{\rm{c}}}}}{8}} \right)^2} = \frac{m}{4}{\sigma _{\rm{c}}}p + \left( {\frac{{{m^2}}}{{64}} + \frac{s}{4}} \right)\sigma _{\rm{c}}^2$

(13)

令 $\lambda = m{\sigma _{\rm{c}}}/8$ ， $\xi = 8s/{m^2}$ ，则式（13）可进一步无量纲化为：

${(\bar q{\rm{ + }}1)^2} = 2(\bar p + \xi ){\rm{ + }}1$

(14)

式中， $\bar p = p/\lambda $ ， $\bar q = q/\lambda $ 。

定义即时摩擦角 $\rho $ 为：

$\sin \,\rho = \frac{{{\rm{d}}\bar q}}{{{\rm{d}}\bar p}} = \frac{1}{{1 + \bar q}}$

(15)

则Hoek–Brown破坏准则的摩尔强度外包络线可以通过即时摩擦角 $\rho $ 表示为：

$\bar \tau = \frac{\tau }{\lambda } = \frac{{1 - \sin\, \rho }}{{\tan \rho }}$

(16)

$\bar \sigma = \frac{\sigma }{\lambda } + \xi = {\left( {\frac{{1 - \sin \,\rho }}{{\sin\, \rho }}} \right)^2}\frac{{\left( {1 + 2\sin \,\rho } \right)}}{2}$

(17)

式中， $\sigma $ 为作用在岩石微元破裂面上法向应力， $\tau $ 为作用在岩石微元破裂面上的切向剪应力。

联立式（16）和（17）可建立如下方程：

$2{\sin ^3}\,\rho - (2\bar \sigma + 3){\sin ^2}\,\rho + 1 = 0$

(18)

式（18）的解为：

$\rho {\rm{ = }}\frac{{\text{π}} }{2} - \sqrt[\scriptstyle 4]{{\frac{{8\bar \sigma }}{3}}}$

(19)

根据式（16）和（17），通过非线性拟合可建立 $\bar \tau $ 与 $\bar \sigma $ 之间的近似关系式：

$\bar \tau \approx 1.25{\bar \sigma ^{0.75}}$

(20)

将式（16）和（17）代入式（20），即可得岩石破裂面上切向剪应力 $\tau $ 的近似表达式（图4）：

$\frac{\tau }{\lambda } = 1.25{\left( {\frac{\sigma }{\lambda } + \xi } \right)^{0.75}}$

(21)

图4中，理论曲线即为由即时摩擦角 $\rho $ 所建立的岩石破裂面上无量纲切向剪应力 $\bar \tau $ 与无量纲法向应力 $\bar \sigma $ 之间的关系曲线。由图4可知，与文献[13]相比，本文拟合曲线与理论曲线更为接近。

2 基桩嵌岩深度计算 2.1 岩石水平极限抗力计算

根据图1，当 $\alpha $ =0时，桩侧岩石的法向应力 $\sigma_{\rm m}$ 可视为大主应力 $\sigma_1$ ，而桩侧上覆土层产生的竖向压力 $\sigma_{\rm v}$ 可视为小主应力 $\sigma_3$ ，即：

${\sigma _1}{\rm{ = }}{\sigma _{\rm{m}}}$

(22)

${\sigma _3}{\rm{ = }}{\sigma _{\rm{v}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{l_i}} {\gamma _{{\rm{si}}}}$

(23)

式中， ${l_i}$ 为第 $i$ 层土厚度， $n$ 为土层数， $\gamma $ _si为第 $i$ 层土饱和重度。如基岩埋藏较浅，或存在水流冲刷时， $\sigma_{\rm v}$ =0。

将式（22）和（23）代入式（10）可得桩侧岩石的最大法向应力为：

${\sigma _{\rm{m}}} = {\sigma _{\rm{v}}} + \sqrt {{\sigma _{\rm{c}}}m{\sigma _{\rm{v}}} + \sigma _{\rm{c}}^2s} $

(24)

当 $\alpha $ =π/4时，桩侧切向剪应力 $\tau $ _m最大，根据式（2）可得桩侧岩石的法向应力为：

$\sigma = {\sigma _{\rm{m}}}\cos \frac{{\text{π}} }{4}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 2 }}{2}{\sigma _{\rm{m}}}{\rm{ = }}\frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {{\sigma _{\rm{v}}} + \sqrt {{\sigma _{\rm{c}}}m{\sigma _{\rm{v}}} + \sigma _{\rm{c}}^2s} } \right)$

(25)

将式（25）代入式（21），可得岩石的切向剪应力为：

$\begin{aligned}[b] {\tau _{\rm{m}}} &= 1.{\rm{25}}\lambda {\left( {\frac{\sigma }{\lambda } + \xi } \right)^{0.75}} = \\ &\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,1.25\lambda {\left\{ {\frac{{\sqrt 2 }}{{2\lambda }}\left[ {{\sigma _{\rm{v}}} + \sqrt {{\sigma _{\rm{c}}}m{\sigma _{\rm{v}}} + \sigma _{\rm{c}}^2s} } \right] + \xi } \right\}^{0.75}} \end{aligned}\!\!\!\!\!\!$

(26)

将式（24）和（26）代入式（6），即可得到基于Hoek–Brown破坏准则的桩侧岩石水平极限抗力：

$\begin{aligned}[b]{p_{\rm{u}}} = & d\Bigg\{\frac{{\text{π}} }{4}\left( {{\sigma _{\rm{v}}} + \sqrt {{\sigma _{\rm{c}}}m{\sigma _{\rm{v}}} + \sigma _{\rm{c}}^2s} } \right) + \Bigg. \\ & \left.\frac{{5\lambda }}{6}{{\left[ {\frac{{\sqrt 2 }}{{2\lambda }}\left( {{\sigma _{\rm{v}}} + \sqrt {{\sigma _{\rm{c}}}m{\sigma _{\rm{v}}} + \sigma _{\rm{c}}^2s} } \right) + \xi } \right]}^{0.75}} \right\}\end{aligned}$

(27)

2.2 嵌岩深度计算

根据桩体水平向静力平衡条件，则有：

$H - \int_0^{\textstyle\frac{\kappa }{\eta }} {( - \eta x + \kappa )} {\rm{d}}x + \int_{\textstyle\frac{\kappa }{\eta }}^{{h_{\rm{r}}}} {(\eta x - \kappa )} {\rm{d}}x = 0$

(28)

对基岩顶面桩身中心点取矩，则有：

${M_{\rm{H}}} - \int_0^{\textstyle\frac{\kappa }{\eta }} {x( - \eta x + \kappa )} {\rm{d}}x + \int_{\textstyle\frac{\kappa }{\eta }}^{{h_{\rm{r}}}} {x(\eta x - \kappa )} {\rm{d}}x = 0$

(29)

联立式（28）和（29），化简可得：

$\kappa {h_{\rm{r}}}^2 - 4H{h_{\rm{r}}} - 6{M_{\rm{H}}} = 0$

(30)

当基岩顶面处岩石发生剪切破坏时，还须满足以下边界条件：

${\left. p \right|_{{\textit{z}} = 0}} = \kappa = {p_{\rm{u}}}$

(31)

联立式（31）即可对式（30）进行求解，得到基桩最小嵌岩深度 $h$ _r的解析解：

${h_{\rm{r}}} = \frac{{2H}}{{{p_{\rm{u}}}}} + \sqrt {\frac{{4{H^2}}}{{{p_{\rm u}^2}}} + \frac{{6{M_{\rm{H}}}}}{{{p_{\rm{u}}}}}} $

(32)

3 算例验证

为验证上述解的可行性，现以文献[13]中的嵌岩桩为例，利用规范方法和本文方法进行计算对比。具体计算参数为：桩径 $d$ =1.50 m，基岩顶面处水平力 $H$ =0，弯矩 $M_{\rm H}$ =1 000 kN·m，桩侧上覆土层竖向压力 $\sigma_{\rm v}$ =200 kPa；岩石单轴抗压强度 $\sigma_{\rm c}$ =20 MPa， $a$ =28， $b$ =9， $m$ ₀=15，岩石质量分类指标RMR=65。

由表1可知，本文计算所得嵌岩深度与规范[16]的结果更为接近，可以验证本文拟合曲线及理论解的合理性。且本文计算结果比文献[13]和规范[16]的结果都小，相对更为经济。

4 影响因素分析

由式（32）可知基桩嵌岩深度与基岩顶面水平力 $H$ 、弯矩 $M_{\rm H}$ 、桩径 $d$ 、桩侧岩石抗压强度 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 、岩石质量分类指标RMR等有关，为进一步探讨这些参数对基桩嵌岩深度的影响，在保证其他参数不变的情况下（ $a$ =28， $b$ =9， $m$ ₀=15， $\sigma $ _v=400 kPa)，制定的方案如表2所示。

4.1 水平力H和桩径d的影响

图5和6分别给出了 ${\sigma _{\rm{c}}}$ =45 MPa，RMR=60时，不同水平力H和桩径 $d$ 下基桩最小嵌岩深度 $h$ _r与基岩顶面处桩身弯矩 $M_{\rm H}$ 之间的关系曲线。

由图5可知，基桩最小嵌岩深度 $h_{\rm r}$ 随基岩顶面处水平力H增加呈现线性关系增大，而随基岩顶面处弯矩 $M_{\rm H}$ 增大呈现非线性关系增大。保证其他参数相同的情况下，当 $M_{\rm H}$ =1 000 kN·m时，H=0、500、1 000、1 500 kN及2 000 kN对应的最小嵌岩深度 $h$ _r分别为0.893、1.036、1.198、1.377 m及1.571 m；以H=0 kN为基准，随基岩顶面处水平力H的增加，嵌岩深度 $h_{\rm r}$ 的增幅分别为16.0%、34.1%、54.2%及75.9%。

图6显示，基桩最小嵌岩深度 $h$ _r随桩径 $d$ 增大而呈现非线性关系减小。当 $M_{\rm H}$ =1 000 kN·m，H=0 kN时， $d$ =1.0、2.0及3.0 m对应的最小嵌岩深度 $h_{\rm r}$ 分别为0.893、0.632 m及0.516 m，最小嵌岩深度 $h_{\rm r}$ 随桩径 $d$ 的减幅分别为29.2%和42.2%；当 $M_{\rm H}$ =1 000 kN·m， $H$ =1 000 kN时， $d$ =1.0、2.0及3.0 m对应的最小嵌岩深度 $h_{\rm r}$ 分别为1.067、0.716及0.572 m，最小嵌岩深度 $h_{\rm r}$ 随桩径 $d$ 的减幅分别为32.9%和46.4%。由此可见，桩径 $d$ 对嵌岩桩侧岩石水平承载特性的影响较显著，桩径越大，基桩最小嵌岩深度越小。因此，实际工程设计时，可通过增大桩径 $d$ 减小基桩的嵌岩深度 $h_{\rm r}$ ，并能确保嵌岩桩的水平承载稳定性。

4.2 ${\sigma}_{\bf c}$ 和 ${{RMR}}$ 的影响

图7为 $M_{\rm H}$ =1 000 kN·m， $d$ =1.0 m时，不同岩石强度指标 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 和岩体地质力学分类指标RMR下基桩嵌岩深度 $h_{\rm r}$ 与水平力H间的关系曲线。

图8为 $d$ =1.0 m， $H$ =1 000 kN时，不同岩石强度指标 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 和基岩顶面弯矩 $M_{\rm H}$ 下基桩最小嵌岩深度 $h_{\rm r}$ 与岩石岩体地质力学分类指标RMR关系曲线。

由图7和8可知，嵌岩深度 $h$ _r随岩石单轴抗压强度指标 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 和岩体地质力学分类指标RMR增加呈现非线性关系减小。当H=1 000 kN， $RMR$ =30时， ${\sigma _{\rm{c}}}$ =15、30、45及60 MPa对应的最小嵌岩深度 $h$ _r分别为9.177、5.103、3.696及2.969 m。与 ${\sigma _{\rm{c}}}$ =15 MPa相比，岩石单轴抗压强度指标 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 每增加15 MPa，嵌岩深度 $h$ _r分别减小4.074、5.481及6.208 m，对应的减幅分别为44.4%、59.7%及67.6%。可见，岩石单轴抗压强度越大，其对最小嵌岩深度 $h$ _r的影响越明显。当H=1 000 kN， ${\sigma _{\rm c}}$ =15 MPa时，RMR=30、45、60及75对应的最小嵌岩深度 $h_{\rm r}$ 分别为9.177、4.688、2.538及1.453 m。与 $RMR$ =30相比，岩体地质力学分类指标 $RMR$ 每增加15，嵌岩深度 $h$ _r分别减小4.489、6.639及7.724 m，对应的减幅分别为48.9%、72.3%及84.2%。这说明岩石质量分类指标 $RMR$ 对嵌岩深度的影响比岩石强度指标 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 更显著。另外，由图8可以发现，当岩体地质力学分类指标RMR大于85时，基桩嵌岩深度 $h_{\rm r}$ 尚不足1.0 m，且受岩石强度指标 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 的影响甚小。这是因为岩体地质力学分类指标RMR取值与岩石单轴抗压强度 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 、岩芯岩体地质力学分类指标RQD、节理间距与状况、地下水等有关。相同条件下，RMR值越大，岩石质量越好，越难破坏，故所需嵌岩深度也就越小。

综上所述，岩体地质力学分类指标 $RMR$ 和岩石单轴抗压强度 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 对嵌岩深度的影响均较显著。实际工程设计时，应将基桩嵌入质量较好的基岩中，以提高嵌岩桩的水平承载稳定性。但是，当桩位处基岩质量无法改变时，还可以通过调整桩径 $d$ 确定嵌岩桩的最佳嵌岩深度。

5 结　论

基于Hoek–Brown强度准则和静力平衡原理，推导了嵌岩桩嵌岩深度理论计算公式，通过算例验证和影响因素分析，得到如下主要结论：

1）基桩嵌岩深度 $h$ _r随基岩顶面处水平力 $H$ 增加近似呈现线性关系增大，随基岩顶面处弯矩 $M_{\rm H}$ 增加呈现非线性关系增大，而随桩径 $d$ 增加呈现非线性关系减小。与桩径 $d$ =1.0 m相比，桩径 $d$ 每增大1.0 m最小嵌岩深度 $h$ _r约分别减小32%和44%。

2）基桩嵌岩深度 $h$ _r随岩石单轴抗压强度 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 和岩体地质力学分类指标 $RMR$ 增大呈现非线性关系减小。其他条件相同时，与 ${\sigma _{\rm{c}}}$ =15 MPa相比，岩石单轴抗压强度指标 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 每增加15 MPa，嵌岩深度 $h$ _r分别减小44.4%、59.7%及67.6%。与 $RMR$ =30相比，岩体地质力学分类指标 $RMR$ 每增加15，嵌岩深度 $h$ _r分别减小48.9%、72.3%及84.2%。

3）其他条件相同时，岩体地质力学分类指标 $RMR$ 对嵌岩深度 $h$ _r的影响比岩石单轴抗压强度 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 更为显著，但当 $RMR$ 大于85时，基桩嵌岩深度 $h$ _r尚不足1.0 m，且受岩石强度指标 ${\sigma _{\rm{c}}}$ 的影响甚小。实际工程设计时，应兼顾岩石的强度、质量及桩径等方面确定嵌岩桩的最佳嵌岩深度。