随着化石燃料日益枯竭、环境问题日益凸显，清洁能源的开发和利用迫在眉睫。在众多清洁能源中，太阳能具有储备丰富、可再生、无污染和全年可收集等特点^[1]，是最具开发潜力的能源之一^[2]。目前，收集太阳能的系统主要有光伏、槽式、碟式和塔式等系统，其中光伏系统是目前应用最为广泛的，其工作原理是将照射在光伏板上的太阳能直接转换为电能。为了充分接收太阳能，光伏板一般采用固定倾角安装和追踪式安装，其中追踪式一般又分为单轴追踪式和双轴追踪式。Neville^[3]研究表明采用双轴追踪式光伏板的接收效率比单轴追踪式提高5%～10%，具有更高的应用潜力。目前，双轴视日追踪机构主要为串联的形式，通过其中一根轴的转动来追踪太阳的方位运动，另一根轴的转动来追踪太阳的俯仰运动^[4]。由于俯仰驱动装置跟随方位驱动装置一起运动，两个方向的追踪误差会互相累加，影响对太阳的追踪精度。同时，俯仰驱动装置的质量由方位驱动装置来承担，导致末端驱动装置的负载较大，且整个追踪机构的体积庞大，浪费能源和材料^[5]。相较于串联式视日追踪机构，并联式视日追踪机构包括多个驱动分支，各驱动分支的一端分别与光伏板相连，另一端分别与底座相连，各驱动分支相互独立，共同驱动动平台运动，无累积误差且刚度较高；同时各分支的驱动装置均由底座承担，从而节约了能源和材料。因而，并联式视日追踪机构在太阳能领域具有很大的应用潜力。其中，基于3-RPS的视日追踪机构仅包括3个驱动分支^[6]，结构形式最为简单，最为符合节能省材的理念，受到了研究人员的关注。Ashith等^[1] 提出将3-RPS视日追踪机构应用于塔式系统的定日镜，证明了在相同条件下该机构比传统2维追踪机构重量要轻15%，体现了其在太阳能领域的优势。贺新升等^[7]基于3-RPS并联机构设计了一种用于光伏板的太阳自动追踪机构，该机构采用3条细钢绳的协调动作来改变太阳能板的姿态，光伏板的大部分重量通过万向节直接压在支架上，造成整体结构比较复杂，同时采用细钢绳代替了刚性伸缩杆，降低了整个机构的刚度，但不利于推广应用。董庆江^[8]提出将3-RPS视日追踪机构的其中一根伸缩杆设置为不变杆，将所需驱动装置减小为两个，一定程度上降低了系统能耗。但是，该机构的运动空间进一步缩小，同时也未考虑实际追踪过程中伸缩杆长度变化和铰链转动范围的限制，并不能满足实际中光伏板对太阳的全追踪。

综合上述文献可见3-RPS并联机构以其独特的性能优势在光伏追踪中具有很大的应用潜力，但该方向的研究尚属刚刚起步，且相关研究并不能满足实际需求。从实用的角度，作者针对一种应用于光伏板的基于3-RPS视日追踪系统进行设计与研究。

1 系统的整体结构

系统由光伏板、三根伸缩杆、基座、复合铰链和转动铰链组成，如图1和2所示。

三根伸缩杆结构相同，且呈正三角形布置；每根伸缩杆的上端通过复合铰链与光伏板相连，下端通过转动铰链与基座相连；通过改变三根伸缩杆的长短驱动光伏板运动，实现对太阳的实时追踪。系统采用上大下小的结构形式，可以减小占地面积，同时扩大转动范围。

2 系统的理论分析 2.1 追踪轨迹计算

首先，建立太阳方向矢量的计算模型，从而确定系统的追踪轨迹。以系统的安装位置为坐标原点建立地平坐标系，并在该坐标系中表示出太阳光入射角，如图3所示。

图3中， ${{S}}$ 为太阳的方向矢量， ${O_{\rm{h}}} - $ $ {X_{\rm{h}}}{Y_{\rm{h}}}{{\textit{Z}}_{\rm{h}}}$ 为地平坐标系， ${O_{\rm{h}}}{X_{\rm{h}}}$ 轴指向正南方向， ${O_{\rm{h}}}{Y_{\rm{h}}}$ 轴指向正东方向， ${O_{\rm{h}}}{{\textit{Z}}_{\rm{h}}}$ 轴指向天顶方向， $\phi $ 为太阳高度角， $\varphi $ 为太阳方位角。为了实时追踪太阳，只需确定这两个角度。太阳高度角和方位角可由式（1）和（2）求得^[9]：

$\sin\; \phi = \sin\; L \cdot \sin\; \delta + \cos\; L \cdot \cos\; \delta \cdot \cos\; \omega $

(1)

$\cos\; \varphi = \frac{{\sin\; \alpha \cdot \sin\; L - \sin\; \delta }}{{\cos\; \alpha \cdot \cos\; L}}$

(2)

式中， $\delta $ 为太阳赤纬角， $\omega $ 为时角， $L$ 为当地纬度。太阳赤纬角可由式（3）^[10]求得：

$\begin{aligned}[b] \delta =& 0.006\;918 - 0.399\;912\cos\; B + \\ & 0.070\;257\sin\; B{\rm{ }} - 0.006\;758\cos\; 2B+ \\ & 0.000\;907\sin\; 2{{B}} - 0.002\;679\cos\; 3B + \\ & 0.001\;48\sin\; 3B \\ \end{aligned} $

(3)

式中， $B = \dfrac{{\left( {n - 1} \right) \times 360}}{{365}}$ ， $n$ 为年序日。

时角 $\omega$ 可由式（4）求得：

$\omega = \left( {t - ST} \right) \times 15^\circ $

(4)

式中， $t$ 为北京时间， $ST$ 为当地真太阳时（与当地经度有关）。

2.2 系统的几何模型和安装布局

图4为系统的几何模型，由上下两个平台构成，两个平台均为正三角形，3个分支以120°均布在上平台和下平台之间。其中，每个分支各由1组转动副、移动副和3转动复合副构成。下平台的半径为 ${r_{\rm{b}}}$ ，上平台的半径为 ${r_{\rm{m}}}$ ，定坐标系 ${O_{\rm{b}}} - {X_{\rm{b}}}{Y_{\rm{b}}}{{\textit{Z}}_{\rm{b}}}$ 与下平台（定平台）固连，动坐标系 ${O_{\rm{m}}} - {X_{\rm{m}}}{Y_{\rm{m}}}{{\textit{Z}}_{\rm{m}}}$ 与上平台（动平台）固连，3个分支下端与定平台连接的转动副为 ${R_i}$ ，它们的转动轴线分别与外接圆相切，3个分支上端与动平台连接的3转动复合副的转动中心为 ${S\!_i}$ ，连接动、定平台的3个移动副为 ${P_i}$ ， $i = 1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3$ 。

为便于追踪，布置定坐标系 ${O_{\rm{b}}} - {X_{\rm{b}}}{Y_{\rm{b}}}{{\textit{Z}}_{\rm{b}}}$ 与地平坐标系 ${O_{\rm{h}}} - {X_{\rm{h}}}{Y_{\rm{h}}}{{\textit{Z}}_{\rm{h}}}$ 重合。同时，光伏板可以是任意形状，3个 ${S\!_i}$ 点的位置仅代表支撑位置。

2.3 三根伸缩杆的杆长计算

根据螺旋理论可知^[11]，3-RPS并联机构存在3个自由度，即机构动平台只能做动平台平面内的2维转动和沿 ${\textit{Z}}$ 方向的移动。

3-RPS并联机构动平台的位姿描述如式（5）所示：

$W = W\left( {x,y,{\textit{z}},\alpha ,\beta ,\gamma } \right)$

(5)

式中， $x$ 、 $y$ 、 ${\textit{z}}$ 为动平台中心点在定平台坐标系中的坐标， $\alpha $ 、 $\beta $ 、 $\gamma $ 为欧拉角。这里采用Z–Y–Z型欧拉角描述动平台相对于定平台的方位变化，相应的姿态变换矩阵为：

${{T}}_{\rm{m}}^{\rm{b}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos\;\alpha \cos\;\beta \cos\;\gamma - \sin\;\alpha \sin\;\gamma }&{ - \cos\;\alpha \cos\;\beta \sin\;\gamma - \sin\;\alpha \cos\;\gamma }&{\cos\;\alpha \sin\;\beta }&x \\ {\sin\;\alpha \cos\;\beta \cos\;\gamma + \cos\;\alpha \sin\;\gamma }&{ - \sin\;\alpha \cos\;\beta \sin\;\gamma + \cos\;\alpha \cos\;\gamma }&{\sin\;\alpha \sin\;\beta }&y \\ { - \sin\;\beta \cos\;\gamma }&{\sin\;\beta \sin\;\gamma }&{\cos\;\beta }&{\textit{z}} \\ 0&0&0&1 \end{array}} \right]$

(6)

在3-RPS并联机构中，3个转动副的布置限制了三转动复合副的运动，使其只能分别在垂直于转动副轴线的平面内运动，从而导出相应的位姿约束方程，如式（7）所示：

$\left\{ \begin{array}{l} \!\!\!\! x = {r_{\rm{m}}}\cos\; 2\alpha \left( {\cos\; \beta - 1} \right)/2, \\ \!\!\!\! y = {r_{\rm{m}}}\sin\; 2\alpha \left( {1 - \cos\; \beta } \right)/2, \\ \!\!\!\! \gamma = - \alpha \\ \end{array} \right.$

(7)

将 ${R_i}$ 在 ${O_{\rm{b}}} - {X_{\rm{b}}}{Y_{\rm{b}}}{{\textit{Z}}_{\rm{b}}}$ 中的坐标向量表示为 ${}^{{\rm{b}}}{{{P}}_{{{{R}}_{{i}}}}}$ ， ${S\!_i}$ 在 ${O_{\rm{m}}} - {X_{\rm{m}}}{Y_{\rm{m}}}{{\textit{Z}}_{\rm{m}}}$ 中的坐标向量表示为 ${}^{{{\rm{m}}}}{{{P}}_{{{{S}}\!_{{i}}}}}$ ，则三根伸缩杆在 ${O_{\rm{b}}} - {X_{\rm{b}}}{Y_{\rm{b}}}{{\textit{Z}}_{\rm{b}}}$ 中的矢量为 ${{{L}}_{{i}}}$ ：

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\! {{{{L}}_{{i}}}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!1 \!\!\!\! \end{array}} \right) = {{T}}_{\rm{m}}^{\rm{b}}\left( {x,y,{\textit{z}},\alpha ,\beta ,\gamma } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\! {{}^{\rm{m}}{{{P}}_{{{{S}}\!{_{{i}}}}}}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!1 \!\!\!\! \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{P}}_{{{R}}_{i}}}} \!\!\!\!\\ \!\!\!\!1 \!\!\!\! \end{array}} \right)$

(8)

将式（7）代入式（8）可得：

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{{{L}}_{{i}}}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!1 \!\!\!\! \end{array}} \right) = {{T}}_{\rm{m}}^{\rm{b}}\left( {{\textit{z}},\alpha ,\beta } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{}^{\rm{m}}{{{P}}_{{{{S}}\!{_{{i}}}}}}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!1 \!\!\!\! \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{P}}_{{{R}_{i}}}}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!1 \!\!\!\! \end{array}} \right)$

(9)

由式（9）可知，动平台的方位仅由 $\alpha $ 、 $\;\beta $ 两个变量确定，分析太阳高度角、方位角的定义和Z–Y–Z欧拉角之间的对应关系可得：

$\left\{ \begin{array}{l} \!\!\!\! \alpha = \varphi \left( {\omega > 0,\varphi = - \varphi } \right); \\ \!\!\!\!\beta = 90^\circ - \phi \\ \end{array} \right.$

(10)

将式（10）代入式（9），可得 ${{{L}}_{{i}}}$ ：

$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{{{L}}_{{i}}}}\!\!\!\!\\ \!\!\!\!1\!\!\!\! \end{array}} \right) = {{T}}_{\rm{m}}^{\rm{b}}\left( {{\textit{z}},\varphi ,90^\circ - \phi } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{}^{\rm{m}}{{{P}}_{{{{S}}\!_{{i}}}}}}\!\!\!\!\\ \!\!\!\!1\!\!\!\! \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{P}}_{{{{R}}_{{i}}}}}}\!\!\!\!\\ \!\!\!\!1\!\!\!\! \end{array}} \right)$

(11)

进而，可得三根伸缩杆的杆长 ${l_i}$ ：

${l_i} = \left\| {{{{L}}_{{i}}}} \right\|,\left( {i = 1,2,3} \right)。$

(12)

2.4 复合铰链的转动范围计算

制作了复合铰链的实物模型，3个转动轴线 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 汇聚于 ${S\!_i}$ 点，如图5所示。为了确定其绕各轴线的转动范围和进一步对其进行优化设计，建立了计算其绕各轴线的转动角度数学模型。

如图6所示，每根伸缩杆上端建立与动平台固连的坐标系 ${S\!{_i}} - {x_{si}}{y_{si}}{{\textit{z}}_{si}}$ ，其方向与坐标系 ${O_{\rm{m}}} - {X_{\rm{m}}}{Y_{\rm{m}}}{{\textit{Z}}_{\rm{m}}}$ 相同。同时，每根伸缩杆下端建立与伸缩杆固连的坐标系 ${R_i} - {x_{ri}}{y_{ri}}{{\textit{z}}_{ri}}$ ，其中： ${{\textit{z}}_{ri}}$ 轴与 $\mathop {{{{R}}_{{i}}}{{{S}}_{{i}}}} $ 同向； ${y_{ri}}$ 轴与转动副旋转轴重合，其正方向为绕定平台的外接圆逆时针方向； ${x_{ri}}$ 轴由右手定则确定。

一方面，坐标系 ${S\!{_i}} - {x_{si}}{y_{si}}{{\textit{z}}_{si}}$ 相对于坐标系 ${R_i} - $ ${x_{ri}}{y_{ri}}{{\textit{z}}_{ri}}$ 的旋转矩阵可通过式（13）求得：

${{R}}_{{{ri}}}^{{{si}}} = {{R}}_{{{ri}}}^{\rm{b}}{{R}}_{\rm{b}}^{\rm{m}}{{R}}_{\rm{m}}^{{{si}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{n_x}}&{{o_x}}&{{a_x}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{{n_y}}&{{o_y}}&{{a_y}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{{n_{\textit{z}}}}&{{o_{\textit{z}}}}&{{a_{\textit{z}}}} \!\!\!\! \end{array}} \right]$

(13)

式中， ${{R}}_{{{ri}}}^{\rm{b}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{\cos\;{\varepsilon _i}\cos\;{\gamma _i}}&{ - \sin\;{\varepsilon _i}}&{\cos\;{\varepsilon _i}\sin\;{\gamma _i}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\! {\sin\;{\varepsilon _i}\cos\;{\gamma _i}}&{\cos\;{\varepsilon _i}}&{\sin\;{\varepsilon _i}\sin\;{\gamma _i}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\! { - \sin\;{\gamma _i}}&0&{\cos\;{\gamma _i}}\!\!\!\! \end{array}} \right]$ ，

${{R}}_{{{si}}}^{\rm{m}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{\cos\;{\varepsilon _i}}&{ - \sin\;{\varepsilon _i}}&0\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{\sin\;{\varepsilon _i}}&{\cos\;{\varepsilon _i}}&0\!\!\!\! \\ \!\!\!\! 0&0&1 \!\!\!\! \end{array}} \right],$

${{R}}_{\rm{b}}^{\rm{m}}$ 为 ${{T}}_{\rm{b}}^{\rm{m}}$ 的前3行3列。

另一方面，该旋转矩阵也可表示为：

$\begin{aligned}[b]{{R}}_{{{ri}}}^{{{si}}} =& \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{\cos\;{d_i}}&{ - \sin\;{d_i}}&0\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{\sin\;{d_i}}&{\cos\;{d_i}}&0\!\!\!\! \\ \!\!\!\!0&0&1 \!\!\!\! \end{array}} \right] \cdot \\ &\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!1&0&0\!\!\!\! \\ \!\!\!\!0&{\cos\;{e_i}}&{ - \sin\;{e_i}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!0&{\sin\;{e_i}}&{\cos\;{e_i}}\!\!\!\! \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{\cos\;{f_i}}&0&{\sin\;{f_i}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!0&1&0\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{ - \sin\;{f_i}}&0&{\cos\;{f_i}} \!\!\!\! \end{array}} \right]\end{aligned}$

(14)

式中， ${d_i}$ 、 ${e_i}$ 、 ${f_i}$ 分别代表复合铰链绕其3个轴线 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的转动角度，如图5所示。

那么，式（13）、（14）相等，同时乘以 $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{\cos\;{f_i}}&\!\!\!\!0&\!\!\!\!\!\!{ - \sin\;{f_i}} \!\!\!\!\\\!\!\!\! 0&\!\!\!\!\!\!1&\!\!\!\!0\!\!\!\! \\\!\!\!\! {\sin\;{f_i}}&\!\!\!\!\!\!0&\!\!\!\!{\cos\;{f_i}}\!\!\!\! \end{array}} \right]$ 可得：

$\begin{aligned}[b]&\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{n_x}}&{{o_x}}&{{a_x}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{{n_y}}&{{o_y}}&{{a_y}} \!\!\!\!\\ \!\!\!\!{{n_{\textit{z}}}}&{{o_{\textit{z}}}}&{{a_{\textit{z}}}}\!\!\!\! \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{\cos\;{f_i}}&0&{ - \sin\;{f_i}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\! 0&1&0 \!\!\!\!\\ \!\!\!\! {\sin\;{f_i}}&0&{\cos\;{f_i}} \!\!\!\! \end{array}} \right]= \\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{\cos\;{d_i}}&{\sin\;{d_i}\cos\;{e_i}}&{\sin\;{d_i}\sin\;{e_i}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{\sin\;{d_i}}&{\cos\;{d_i}\cos\;{e_i}}&{ - \cos\;{d_i}\sin\;{e_i}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\! 0&{\sin\;{e_i}}&{\cos\;{e_i}} \!\!\!\! \end{array}} \right]{\text{。}}\end{aligned}$

进而，可得到3个转动角度 ${f_i}$ 、 ${e_i}$ 、 ${d_i}$ 的值：

$\left\{ \begin{array}{l} \!\!\!\! {f_i} = \arctan \left( { - \dfrac{{{n_{\textit{z}}}}}{{{a_{\textit{z}}}}}} \right), \\ \!\!\!\!{e_i} = \arctan \left( {\dfrac{{{o_{\textit{z}}}}}{{ - s{f_i} {n_{\textit{z}}} + c{f_i} {a_{\textit{z}}}}}} \right), \\ \!\!\!\! {d_i} = \arctan \left( {\dfrac{{{n_y} c{f_i} + {a_y} s{f_i}}}{{{n_x} c{f_i} + {a_x} s{f_i}}}} \right) \\ \end{array} \right. 。$

(15)

2.5 系统的驱动力和瞬时功率计算 2.5.1 驱动速度

如图4所示， ${}^{\rm{b}}{{{V}}_{{{{\rm{m}}o}}}}$ 为动平台中心 ${O_{\rm{m}}}$ 线速度， ${}^{\rm{b}}{{{\omega }}_{\rm{m}}}$ 为动平台角速度， ${}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{i}}}}}$ 为铰点 ${S\!_i}$ 相对于 ${O_{\rm{m}}}$ 的矢径， ${}^{\rm{b}}{{{V}}_{{{{S}}\!_{{i}}}}}$ 为铰点 ${S\!_i}$ 的速度， ${}^{\rm{b}}{{{n}}_{{i}}}$ 为杆 ${{{L}}_i}$ 单位向量， ${}^{\rm{b}}{{{u}}_{{i}}}$ 为转动副 ${R_i}$ 单位向量， ${\dot l_i}$ 为杆 ${{{L}}_i}$ 驱动速度，其中 $i = 1,2,3$ 。

铰点 ${S\!_i}$ 的速度矢量 ${}^{\rm{b}}{{{V}}_{{{{S}}\!_{{i}}}}}$ 可表示为：

${}^{\rm{b}}{{{V}}_{{{{S}}\!_{{i}}}}} = {}^{\rm{b}}{{{V}}_{{{{\rm{m}}o}}}} + {}^{\rm{b}}{{{\omega }}_{\rm{m}}} \times {}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{i}}}}}$

(16)

驱动速度 ${\dot l_i}$ 可表示为 ${}^{\rm{b}}{{{V}}_{{{{S}}\!_{{i}}}}}$ 在 ${{{L}}_i}$ 上的投影：

${\dot l_i} = {}^{\rm{b}}{{{V}}_{{{{S}}\!_{{i}}}}} \cdot {}^{\rm{b}}{{{n}}_{{i}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{n}}^{\rm{T}}}}&{{{\left( {{}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{i}}}}} \times {}^{\rm{b}}{{{n}}_{{i}}}} \right)}^{\rm{T}}}} \!\!\!\! \end{array}} \right]{{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{V}}_{{{{\rm{m}}o}}}}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{\omega }}_{\rm{m}}}} \!\!\!\! \end{array}} \right]$

(17)

对3个分支可得：

${\dot{ L}} = {{{J}}_{{A}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{V}}_{{{{\rm{m}}o}}}}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{\omega }}_{\rm{m}}}} \!\!\!\! \end{array}} \right]$

(18)

式中， $ {\dot{ L}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{{\dot l}_1}}&{{{\dot l}_2}}&{{{\dot l}_3}}\!\!\!\! \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ，

${{{J}}_{{A}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\! {{}^{\rm{b}}{{n}}_{{1}}^{\rm{T}}}&{{{\left( {{}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{1}}}}} \times {}^{\rm{b}}{{{n}}_{{1}}}} \right)}^{\rm{T}}}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{n}}_{{2}}^{\rm{T}}}&{{{\left( {{}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{2}}}}} \times {}^{\rm{b}}{{{n}}_{{2}}}} \right)}^{\rm{T}}}} \!\!\!\!\\ \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{n}}_{{3}}^{\rm{T}}}&{{{\left( {{}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{3}}}}} \times {}^{\rm{b}}{{{n}}_{{3}}}} \right)}^{\rm{T}}}} \!\!\!\! \end{array}} \right]{\text{。}}$

同时，动平台转动角速度可以用欧拉角导数表示为：

${}^{\rm{b}}{{{\omega }}_{\rm{m}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!0&{ - \sin\; \alpha }&{\cos\; \alpha \sin\; \beta }\!\!\!\! \\ \!\!\!\!0&{\cos\; \alpha }&{\sin\; \alpha \sin\; \beta } \!\!\!\!\\ \!\!\!\!1&0&{\cos\; \beta }\!\!\!\! \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{\dot \alpha }\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{\dot \beta }\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{ - \dot \alpha } \!\!\!\! \end{array}} \right]$

(19)

对式（7）求导，动平台中心的线速度可表示为：

${}^{\rm{b}}{{{V}}_{{{{\rm{m}}o}}}} \!=\! \left[\! {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{r_{\rm{m}}}\sin\; 2\alpha \left( {1 - \cos\; \beta } \right)}\!\!\!\!\!&\!\!{ - 0.5{r_{\rm{m}}}\cos\; 2\alpha \sin\; \beta }\!\!\!\!\!&\!\!0 \!\!\!\!\\ \!\!\!\!{{r_{\rm{m}}}\cos\; 2\alpha \left( {1 - \cos\; \beta } \right)}\!\!\!\!\!&\!\!{0.5{r_{\rm{m}}}\sin\; 2\alpha \sin\; \beta }\!\!\!\!\!&\!\!0 \!\!\!\!\\ \!\!\!\!0\!\!\!\!\!&\!\!0\!\!\!\!\!&1 \!\!\!\! \end{array}}\!\! \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\! {\dot \alpha }\!\!\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{\dot \beta } \!\!\!\!\!\!\\ \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{V_{\textit{z}}}} \!\!\!\! \end{array}}\! \right]$

(20)

联合式（19）和（20），可得动平台中心的速度：

$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{V}}_{{{{\rm{m}}o}}}}}\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{\omega }}_{\rm{m}}}} \!\!\!\! \end{array}} \right] = {{{J}}_{{B}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!\! {\dot \alpha }\!\!\!\! \\ \!\!\!\!\! {\dot \beta } \!\!\!\!\\ \!\!\!\!{{V_{\textit{z}}}}\!\!\!\! \end{array}} \right]$

(21)

式中，

$ {{{J}}_{{B}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{r_{\rm{m}}}\sin\; 2\alpha \left( {1 - \cos\; \beta } \right)}&{ - 0.5{r_{\rm{m}}}\cos\; 2\alpha \sin\; \beta }&0\!\!\!\! \\ \!\!\!\! {{r_{\rm{m}}}\cos\; 2\alpha \left( {1 - \cos\; \beta } \right)}&{0.5{r_{\rm{m}}}\sin\; 2\alpha \sin\; \beta }&0\!\!\!\! \\ \!\!\!\! 0&0&1\!\!\!\! \\ \!\!\!\!{ - \cos\; \alpha \sin\; \beta }&{ - \sin\; \alpha }&0\!\!\!\! \\ \!\!\!\! { - \sin\; \alpha \sin\; \beta }&{\cos\; \alpha }&0 \!\!\!\!\\ \!\!\!\!{1 - \cos\; \beta }&0&0 \!\!\!\! \end{array}} \right]{\text{。}} $

综合式（18）和（21），可得：

${\dot{ L}} = {{{J}}_{{A}}} \cdot {{{J}}_{{B}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{\dot \alpha }\!\!\!\! \\ \!\!\!\! {\dot \beta }\!\!\!\! \\ \!\!\!\! {{}^{\rm{b}}{V_{\textit{z}}}} \!\!\!\! \end{array}} \right]。$

(22)

2.5.2 瞬时驱动力

由于追日过程是一个缓慢的过程，系统在每一个瞬时可以等效为一个静力平衡状态。同时，静力学模型代替动力学模型，可以方便快速地得到系统的瞬时驱动力。当动平台处于静力平衡时合力为0，则其相对于 ${O_{\rm{b}}} - {X_{\rm{b}}}{Y_{\rm{b}}}{{\textit{Z}}_{\rm{b}}}$ 的静力平衡方程为：

$ \left\{ \begin{array}{l} \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {{}^{\rm{b}}{n_i}{f_i} + {}^{\rm{b}}{u_i}{f_{sri}}} \right) + {}^{\rm{b}}{{F}} = 0}, \\ \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^3 {\left( {{}^{\rm{b}}{r_{{S\!_i}}} \times {}^{\rm{b}}{n_i}{f_i} + {}^{\rm{b}}{r_{S\!_i}} \times {}^{\rm{b}}{u_i}{f_{sri}}} \right) + {}^{\rm{b}}{{M}} = 0} \\ \end{array} \right. $

(23)

将静力平衡方程表示为矩阵形式：

${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{ - {}^{\rm{b}}{{F}}}&{ - {}^{\rm{b}}{{M}}} \!\!\!\! \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {{G}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{f}}&{{{{f}}_{{{sr}}}}} \!\!\!\! \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$

(24)

式中， ${{G}}$ 为动平台与驱动杆及结构约束之间静力传递矩阵，表达式为：

$\begin{aligned}[b]&{{G}} =\\ & \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{n}}_{{1}}}} \!\!\!\!\!& \!\!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{n}}_{{2}}}} \!\!\!\!\!& \!\!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{n}}_{{3}}}} \!\!\!\!\!& \!\!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{u}}_{{1}}}} \!\!\!\!\!& \!\!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{u}}_{{2}}}} \!\!\!\!\!& \!\!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{u}}_{{3}}}}\!\!\!\!\! \\ \!\!\!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{1}}}}} \!\times \!{}^{\rm{b}}{{{n}}_{{1}}}} \!\!\!\!\!& \!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{2}}}}} \!\times\! {}^{\rm{b}}{{{n}}_{{2}}}} \!\!\!\!\!& \!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{3}}}}}\! \times \!{}^{\rm{b}}{{{n}}_{{3}}}} \!\!\!\!\!& \!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{4}}}}}\! \times \!{}^{\rm{b}}{{{u}}_{{1}}}} \!\!\!\!\!& \!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{5}}}}}\! \times\! {}^{\rm{b}}{{{u}}_{{2}}}} \!\!\!\!\!& \!\!\!{{}^{\rm{b}}{{{r}}_{{{{S}}\!_{{6}}}}}\! \times \!{}^{\rm{b}}{{{u}}_{{3}}}} \!\!\!\!\! \end{array}} \right]\end{aligned}$

(25)

由于 ${{G}} \in {{{R}}^{6 \times 6}}$ 为方阵，如果矩阵非奇异则可得到逆矩阵 ${{{G}}^{{\rm{ - }}1}}$ ，故式（24）可以写为：

$ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{{f}}&{{{{f}}_{{{sr}}}}} \!\!\!\! \end{array}} \right]^{\rm{T}}} = {{{G}}^{ - 1}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} \!\!\!\!{ - {}^{\rm{b}}{{F}}}&{ - {}^{\rm{b}}{{M}}} \!\!\!\! \end{array}} \right]^{\rm{T}}} $

(26)

则可得到机构的3个驱动力 ${{f}}$ 。

2.5.3 系统的瞬时功率

由式（22）和（26）可得，系统的瞬时功率为：

${P_i} = {f_i} \cdot {l_i},\left( {i = 1,2,3} \right)。$

(27)

3 追日过程中的关键问题分析

根据2.1节可知，太阳在某时刻的方位取决于当地的经度、纬度、日期和时间。选取陕西省西安市（纬度34.27°N、经度108.93°E）作为追踪地点，为了分析极限位置系统的相关参数，选取夏至日（2017年6月21日）和冬至日（2017年12月22日）作为追踪日期。同时，考虑当地的日照情况，并结合系统的运动空间，选取当天9时到16时作为每天的追踪时间。夏至日和冬至日当天太阳高度角和方位角变化轨迹分别如图7（a）和（b）所示。通过优选，系统的动平台半径为 ${r_{\rm{m}}} = $ $ 200\;{\rm{mm}}$ ，定平台半径为 ${r_{\rm{b}}} = 100\;{\rm{mm}}$ ，动平台相对定平台的初始高度为 ${{\textit{z}}_0} = 590.5\;{\rm{mm}}$ 。

3.1 动平台质心高度可动的控制策略

通过计算夏至日和冬至日三根伸缩杆杆长变化，发现当动平台质心高度不动时，每根伸缩杆的节数至少需要3节，不仅造成伸缩杆结构复杂，而且增加了控制难度。

为此，考虑到太阳追踪是一个缓慢长期的过程，充分利用3-RPS并联机构 ${\textit{z}}$ 向的平移自由度，采用动平台质心 ${\textit{z}}$ 向可动的控制策略，如图8所示。

首先，针对一天中的不同时刻，输入 $\alpha $ 、 $\;\beta $ 。然后，动平台质心高度 ${{\textit{z}}_1} = {{\textit{z}}_0} + \Delta {\textit{z}}$ ，在 ${{\textit{z}}_0} \le {{\textit{z}}_1} \le {{\textit{z}}_{\rm{h}}}$ 范围内，计算 $\left\| {{{{L}}_{{i}}}} \right\|$ 。最后，当 $\min (\left\| {{{{L}}_{{i}}}} \right\|) \ge {{\textit{z}}_0}$ ，停止搜索且此时的 $\left\| {{{{L}}_{{i}}}} \right\|$ 即为所求。采用该控制策略，可得夏至日和冬至日 $\left\| {{{{L}}_{{i}}}} \right\|$ 和 ${{\textit{z}}_1}$ 随时间的变化曲线，分别如图9(a)和(b)所示。进一步比较三根伸缩杆的最小杆长和最大杆长，可得每根伸缩杆只需要两节，如表1所示。

3.2 复合铰链的转动范围

通过分析，如果伸缩杆上端与动平台采用普通球铰连接，夏至日和冬至日球铰的最大转动角度分别为75.06°和51.97°。根据相关文献[12]介绍，普通球铰的最大转动范围为58.07°，不能满足追日的目标。为此，采用虎克铰链加转动铰链组成的复合铰链代替球铰，理论上可实现±180°的转动范围。根据式（14），可得夏至日和冬至日复合铰链3个转动角度 ${f_i} $ 、 ${e_i}$ 、 ${d_i} $ 的变化曲线。由于复合铰链可绕 $a$ 轴实现360°转动，这里仅列出 ${e_i}$ 和 ${d_i}$ 的转动情况，如图10和11所示。通过比较可知，夏至日比冬至日相关角度的变化范围小，冬至日 ${e_i}$ 最大值为80.35°， ${d_i}$ 最大值为77.6°，复合铰链可以满足转动要求。

4 追日过程中的驱动力与瞬时功率

设定光伏板（动平台）的质量为20 kg，光伏板距复合铰链中心的距离为60 mm。根据2.5节的相应公式，得到了夏至日和冬至日当天的驱动力和瞬时功率变化曲线，如图12和13所示。

由图12（a）可知，夏至日伸缩杆1所需的驱动力变化较小，伸缩杆2和伸缩杆3所需的驱动力变化较大且大致呈对称分布，所需驱动力最大发生在伸缩杆2的初始时刻，最大驱动力为108.65 N。由图12（b）可知，三根伸缩杆的驱动功率均小于1.09×10^–3 W，总的最大驱动功率为1.63×10^–3 W。

由图13可知：冬至日的驱动力和驱动功率变化规律与夏至日大致相同，所需驱动力最大发生在伸缩杆1的初始时刻，最大驱动力为164.65 N。三根伸缩杆的驱动功率均小于1.28×10^–3 W，总的最大驱动功率为2.94×10^–3 W。功耗非常小，主要原因有：没有考虑风压，而实际应用中，风压是其功耗的重要影响因素；该功耗为电机的输出功率，而系统是一个重载且低速的装置，电机存在较大的铜耗和铁耗。

5 实验验证与精度分析

虽然经过理论和仿真分析，证明了系统能够较好地实现追日的目标。但是，没有进行实验验证，仍然缺乏说服力。同时，系统的追踪精度需要评估。为此，实施了系统的追日实验，如图14所示。

由图14可知，系统在一天当中可以平稳地追踪太阳。同时，在系统各组件加工精度不高的情况下，在一天中的不同时刻（图14（a）、（b）、（c）），中心支柱在动平台上的投影面积不超过套筒的上表面（图中箭头所指部分）。套筒的壁厚为6 mm，中心支柱的长度为>895 mm。因此，系统的追踪精度在±0.4°以内。

6 结　论

针对三伸缩杆驱动的光伏板视日追踪系统，本文从实用性的角度，进行了如下工作：

1）针对其在实际应用中不足，提出了动平台 ${\textit{Z}}$ 向可动的控制策略，将伸缩杆的节数缩小为两节，减小了结构复杂度和控制的难度；提出采用虎克铰链加转动铰链组成的复合铰链代替普通球铰的结构方案，扩大了其运动空间，且得到了复合铰链绕各转动轴线的转动角度。

2）通过理论和仿真分析，得到了系统三根伸缩杆所需的驱动力和瞬时功率，即使考虑各种损耗，系统仍然具有较低的能耗。

3）实施了系统的追日实验，验证了理论分析和仿真结果的正确性，同时得到系统的追踪精度在±0.4°以内，具有较高的追踪精度。

未来仍需进行的工作如下：

1）本文在进行驱动力和功耗分析时，未考虑风载对系统的影响，而实际当中风载是其性能的主要影响因素，后续将加入有关风载的研究；

2）本文仅仅对较小尺寸的系统进行了分析，当系统应用于较大面积的光伏板时，具有更大的优势，后续将针对较大的模型进行分析。