频控阵（FDA）雷达概念是2006年由Antonik等^[1]首次提出的，和传统的相控阵雷达相比，其阵列因子的数学模型中包含了距离、角度和时间3个变量，从而能够形成具有距离依赖特性的时变发射波束。王文钦等^[2]是国内最早进行相关研究的学者之一。

发射波束合成是频控阵雷达的主要研究热点之一。当FDA雷达发射信号采用线性频率增量时，其辐射“S”状时变波束，该波束可以完成空间区域扫描，但是，由于其在距离角度维的缠绕和时变特性导致其波束指向难以控制。因此，部分学者对点状波束形成和独立于时间的静态波束形成问题进行了深入研究。Wang^[3]提出了一种FDA离散椭球序列波束方向图设计策略，通过设计发射波束空间权重向量，使得期望2维空间的辐射能量与阵列雷达总的辐射能量的比值最大化。Shao等^[4]提出了一种凸优化多载频对数频率增量方法合成了单、多点状发射波束。Xu等^[5]采用二阶锥规划实现了点状波束的合成。Xiong等^[6]采用遗传算法优化频率增量完成了点状波束合成。Chen等^[7]提出了一种拉格朗日规划神经网络方法用于发射波束的聚焦。Wang^[8]、王博^[9]等进一步研究了基于对数频率增量线性重叠子阵与多载频重叠面阵的点状波束合成，分析了基于SD–LCMV算法的log–FDA、cubic–FDA、sin–FDA和倒数FDA结构的波束距离–角度解耦性能。虽然文献[3-9]中可以成功合成点状波束，但其在仿真分析中都是采用固定时间项，即忽略波束的时变特性，没有考虑波的传播特性。

为了解决上述问题，Xu等^[10]提出了一种脉冲FDA发射波束合成方法，通过合理设置脉冲持续时间和频率增量实现了准静态波束合成。Khan等^[11]提出了时间调制频率增量技术，其在指定位置处合成的发射波束仅在脉冲持续时间内是不变的，在其他位置处的波束仍然是时变的。Yao等^[12]采用基于时间调制的非线性频率增量实现了空间时不变聚焦波束。Wang等^[13]提出了一种时不变距离角度维解耦的FDA发射波束合成方法；在该方法中，每个阵元辐射的信号为多个时间调制非线性频率增量信号的加权和。Liao等^[14]研究了对称对数间隔分布阵列的多载频点状波束合成，其频率采用时间调制，但没有考虑电磁波的传播，即没有考虑波的时变性。在数学上，文献[11-14]中的方法很好地解决了点状波束的时变问题，即可使FDA合成的波束在空间保持静态，从而使得波束在目标处的驻留时间变长，目标反射能量可得到很好的积累，提高探测概率。但是，文献[11-14]中没有清晰阐述频率增量项时间变量和波形传播项时间变量的关系，而是将其看成同一个变量。Shi等^[15]从时间和距离关系的角度分析并得出FDA不可能合成时不变波束方向图的研究结果，但并未研究点状波束合成问题。

此外，利用FDA波束形成优势与MIMO体制相结合的研究也得到了快速发展，例如，采用FDA–MIMO收发波束精确消零技术对SAR成像中的干扰进行抑制^[16-17]，采用FDA–MIMO雷达进行参数估计、目标探测、成像等^[18-21]。但是，FDA波束设计灵活性并未在这些应用中得到充分发挥。本文重点研究了FDA雷达发射波束时变特性和点状波束合成，构建了时间调制对数频率增量和多载频频率增量FDA雷达信号模型，分析并理清了时间调制FDA信号模型中频率增量项时间变量与传播项时间变量的关系，进一步分析了时间调制对数频率增量和多载频频率增量模式合成的点状发射波束的特性。

1 信号模型 1.1 线性频率增量FDA信号模型

以1维线性阵列为例进行说明。假设阵列包含 $N$ 个阵元，阵元间距为 $d$ ，第 $n$ 个阵元辐射信号的频率为：

$ {\;\;\;\;\;\;\;f_n} = {f_0} + n\Delta f,\;n = 0,1, \cdots ,N - 1 $

(1)

式中， ${f_0}$ 为载波频率， $\Delta f$ 为相邻阵元间频率步进量。

第 $n$ 个阵元辐射的连续波信号可表示为：

$ {s_n}(t) = {{\text{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}}{f_n}t}} $

(2)

以第1个阵元为参考点，远场区域任意点 $P(r,\theta )$ 到第 $n$ 个阵元的距离 ${r_n} = r - nd\sin\; \theta $ ，对应的时延 $ {\tau _n} = $ ${r_n}/c$ ，则阵列在该点处的电场强度可表示为^[10,22]：

$ \begin{aligned}[b] &{\boldsymbol E} = {\boldsymbol a}{E_P} = {\boldsymbol a}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{w_n}\frac{{{F_n}(\theta )}}{{{r_n}}}{{\text{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}}{f_n}\left( {t - {\tau _n}} \right)}}} \approx \\ &\;\;{\boldsymbol a}\frac{{F\left( \theta \right)}}{r}{{\text{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}}{f_0}\left( {t - \frac{r}{c}} \right)}}\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{w_n}{{\rm e}^{{\text{j}}2{\text{π}}\left[ {n\Delta f\left( {t - \frac{r}{c}} \right) + \frac{{nd{f_{0}}\sin \;\theta }}{c} + \frac{{{n^2}\Delta fd\sin\; \theta }}{c}} \right]}}} \end{aligned} $

(3)

式中： ${\boldsymbol a}$ 为P点处电场方向单位矢量； $ {E_P} $ 为P点处场强大小的复数表示； $c$ 为光速； ${w_n}$ 为阵元权重系数； ${F_n}(\theta )$ 为第 $n$ 个阵元的天线方向图，假设所有阵元具有相同的方向图，可用 $F(\theta )$ 统一表示。

在FDA雷达中，阵列频率增量比载频小，所以，式（3）中第2行的求和号的指数第3项可以忽略^[6]，且该求和号内表达式与阵元辐射特性无关，与阵列结构和频率增量有关。频控阵的阵列因子（array factor, AF）用符号 ${F_{{\text{AF}}}}$ 表示，求解过程中令 ${w_n} = 1$ ，可得：

$ \begin{aligned}[b] {F_{{\text{AF}}}}(r,\theta ,t) =& {{\text{e}}^{{\text{jπ}}(N - 1)\left[ {\Delta f(t - r/c) + \frac{{{f_0}d\sin\; \theta }}{c}} \right]}} \times \\ &\frac{{\sin \left[ {N{\text{π}}\left( {\Delta f\left( {t - \dfrac{r}{c}} \right) + \frac{{d{f_0}\sin \;\theta }}{c}} \right)} \right]}}{{\sin \left[ {{\text{π}}\left( {\Delta f\left( {t - \dfrac{r}{c}} \right) + \frac{{d{f_0}\sin\; \theta }}{c}} \right)} \right]}} \end{aligned} $

(4)

阵列方向图为阵列因子的绝对值，由式（4）可知，线性频率增量FDA辐射方向图是时间 $t$ 、距离 $r$ 和角度 $\theta $ 这3个变量的函数，且是周期性函数。其中，时间域的周期为 $T = {1 \mathord{\left/ {\vphantom {1 {\Delta f}}} \right. } {\Delta f}}$ ，距离向的周期为 $R = c/\Delta f$ ，方位向周期为 $\varTheta = \arcsin \left( {c/(d{f_0})} \right)$ ，且其在3个维度互相缠绕。关于线性频增FDA波束方向图的性质在文献[22-25]中有所阐述，此处不再赘述。

1.2 时间调制FDA信号模型

时间调制频率增量记为 $\Delta {f_n}(t)$ ，第 $n$ 个阵元辐射的脉冲信号可记为：

$ {s_n}(t) = {{\text{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}}\left[ {{f_0} + \Delta {f_n}(t)} \right]t}},\;t \in \left[ {0,T} \right] $

(5)

则FDA阵列因子重写如下：

$ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\begin{aligned}[b]{F_{{\text{AF}}}}(r,\theta ,t) = &\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{w_n}{{\text{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}}\left[ {\Delta {f_n}(t)\left( {t - \frac{r}{c}} \right) + \frac{{nd{f_{0}}\sin\; \theta }}{c}} \right]}}} , \\ &t \in [{\tau _n},{\tau _n} + T] \end{aligned}}$

(6)

式中， ${w_n}$ 为每个阵元辐射信号的权重。

时间调制频率增量和时间调制对数频率增量表达式可以分别表示为^[11-12]：

$ \Delta {f_n}(t) = \frac{{n - (n{f_0}d\sin\;{\theta _{\text{d}}}){\text{/}}c}}{{t - {r_{\text{d}}}/c}} $

(7)

$ {\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta {f_n}(t)} = \frac{{\ln {{(n + 1)}^\kappa } - (n{f_0}d\sin\; {\theta _{\text{d}}})/c}}{{t - {r_{\text{d}}}/c}} $

(8)

式中， $\kappa $ 为控制频率增量大小的参数， ${r_{\text{d}}}$ 和 ${\theta _{\text{d}}}$ 分别为将雷达波束定位在指定位置的距离和角度。

采用多载频时间调制频率增量，每个阵元辐射信号为多个时间调制非线性频率增量信号的加权和^[4,13]，频率增量和阵列因子可分别写为式（9）和（10）：

$ {\;\;\;\;\;\;\;\Delta {f_m}(t)} = \frac{{\ln {{(m + 1)}^\kappa }}}{{t - {r_{\text{d}}}/c}},\; m = 0,1, \cdots ,M - 1 $

(9)

${\;\;\;\;\begin{aligned}[b] {F_{{\text{AF}}}}(r,\theta ,t) =& \displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\displaystyle\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{w_n}{w_m}{{\text{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}}\left[ {\Delta {f_m}(t)\left( {t - \frac{r}{c}} \right) + \frac{{nd{f_0}\sin\; \theta }}{c}} \right]}}} } , \\ & t \in [{\tau _n},{\tau _n} + T] \end{aligned}}$

(10)

式中， ${w_n}$ 为每个阵元辐射信号的权重， ${w_m}$ 为多载频信号中每个频率信号的权重。

2 频率增量项与传播项中时间变量关系分析

为分析方便，且统一表示式（7）和（8），用 $F(n)$ 代替式（7）分子中的第1项 $n$ 和式（8）分子中的第1项 $\ln {(n + 1)^\kappa }$ ，同时，取 ${w_n} = {{\text{e}}^{ - {\text{j}}2{\text{π}}F(n)}}{{\text{e}}^{ - {\text{j}}(2{\text{π}}nd{f_0}\sin \;{\theta _{\text{d}}}){\text{/}}c}}$ ，则式（6）可进一步表示为：

$ {\;\;\;\begin{aligned}[b]{F_{{\text{AF}}}}(r,\theta ,t) = &\displaystyle \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\text{e}}^{{\text{j2π}}\left[ {\left( {\frac{{F(n)}}{{t - {r_{\text{d}}}/c}}(t - r/c) - F(n)} \right) + \frac{{nd{f_0}(\sin\; \theta - \sin\;{\theta _{\text{d}}})}}{c}} \right]}}} , \\ &\quad t \in [{\tau _n},{\tau _n} + T] \end{aligned}}$

(11)

用 $F(m)$ 表示式（9）中的分子项，取 ${w_m} = {{\text{e}}^{ - {\text{j}}2{\text{π}}F(m)}}$ ， ${w_n} = {{\text{e}}^{ - {\text{j}}(2{\text{π}}nd{f_0}\sin \;{\theta _{\text{d}}}){\text{/}}c}}$ ，则式（10）可进一步写为：

$ {\begin{aligned}[b]{F_{{\text{AF}}}}(r,\theta ,t) = &\displaystyle \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\displaystyle \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{{\text{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}}\left[ {\left( {\frac{{F(m)}}{{t - {r_{\text{d}}}/c}}(t - r/c) - F(m)} \right) + \frac{{nd{f_0}(\sin\; \theta - \sin\; {\theta _{\text{d}}})}}{c}} \right]}}} } , \\ &\quad t \in [{\tau _n},{\tau _n} + T]\\[-10pt]\end{aligned}}$

(12)

频率增量项可进一步表示为式（11）中 $F(n)/ $ $ \left( {t - {r_{\text{d}}}{\text{/}}c} \right)$ 及式（12）中 $F(m)/\left( {t - {r_{\text{d}}}{\text{/}}c} \right)$ ，其中，分母为时间调制，定义传播项为式（11）、（12）中的 $\left( {t - r/c} \right)$ 。

从式（11）和（12）可以看出，当 $t$ 取某一固定时刻，在 $r = {r_{\text{d}}}$ 、 $\theta {\text{ = }}{\theta _{\text{d}}}$ 处，辐射波束取最大值，分别为 $N$ 和 $M \times N$ 。而依据信号产生和电磁波传播原理，这两项中的时间项具有不同的意义。当电磁脉冲信号产生并在空间传播后，其频率将不发生变化。以线性调频波为例进行说明，其在不同波形产生时刻具有不同的频率，在空间传播过程中其频率特性不再变化。频率增量项 $F(n){\text{/(}}t - {r_{\text{d}}}/c{\text{)}}$ 中的变量 $t$ 是在信号产生时刻确定的值，该值一旦确定，在传播过程中的频率就是固定值；而传播项 $(t - r/c)$ 中的变量 $t$ 与电磁波的传播有关，是变化的量。因此，两者不能用同一个变量表示，现将频率增量项中的时间变量改用 $t'$ ，则式（11）和（12）的信号模型重写为：

$ {\;\;\;\;\;\;\begin{aligned}[b]{F_{{\text{AF}}}} = &\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\text{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}}\left[ {\left( {\frac{{F(n)}}{{t' - {r_{\text{d}}}/c}}(t - r/c) - F(n)} \right) + \frac{{nd{f_0}(\sin\; \theta - \sin \;{\theta _{\text{d}}})}}{c}} \right]} , \\ &\;\;\;\;t' \in [0,T],\;t \in [{\tau _n},{\tau _n} + T] \end{aligned}}$

(13)

$ {\begin{aligned}[b]{F_{{\text{AF}}}} = &\displaystyle\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {\displaystyle\sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{w_n}{w_m}{{\text{e}}^{{\text{j}}2{\text{π}}\left[ {\left( {\frac{{F(m)}}{{t' - {r_{\text{d}}}/c}}(t - \frac{r}{c}) - F(m)} \right) + \frac{{nd{f_0}(\sin\; \theta - \sin \;{\theta _{\text{d}}})}}{c}} \right]}}} } , \\ &\;\;\;\;t' \in [0,T]\text{，}t \in [{\tau _n},{\tau _n} + T]\\[-10pt] \end{aligned}}$

(14)

针对脉冲信号，波束最大值出现在脉冲宽度覆盖空间区域内的约束条件为：

$ {t' - \frac{{{r_{\text{d}}}}}{c}} < T $

(15)

式中， $T$ 为脉冲宽度。

3 仿真及结果分析 3.1 线性频率增量波束图仿真

根据FDA阵列因子的特点，分别选择固定时间绘制方向图的空间分布和固定空间位置绘制其在时间上的变化规律。雷达参数设置为 $N = 10$ ， ${f_0} = 10{\text{ GHz}}$ ， $\Delta f = 4{\text{ kHz}}$ 。图1为一个时间周期内3个确定时刻的波束方向图空间分布，图2为空间位置确定时，波束方向图随时间的变化规律，其中， $r$ 分别取100、200 km， $\theta $ 分别取–40°、40°。从图1、2可以看出，FDA雷达采用线性频率增量时，波束方向图为缠绕的“S”状时变波形，可实现空间区域自动扫描，但是存在距离–角度的缠绕。

3.2 时间调制频率增量波束图仿真

首先，对式（11）和（12）在不同时刻的连续波波束图仿真，雷达参数为 $N = 10$ ， ${f_0} = 10{\text{ GHz}}$ ， $M = 10$ ， $\Delta f = 4{\text{ kHz}}$ ， $d = \lambda /2 = 0.015{\text{ m}}$ ， $T = 0.25{\text{ ms}}$ ， ${r_{\text{d}}} = 250{\text{ km}}$ ， ${\theta _{\text{d}}} = 30^\circ $ ， $\kappa {\text{ = 3}}$ 。图3为时间调制对数频率增量波束方向图仿真结果，图4为时间调制多载频频增波束方向图仿真结果。

从图3和4可以看出，在时间从0到0.225 ms变化过程中，发射波束始终聚焦于空间位置 ${r_{\text{d}}}=250$ km， $ {\theta _{\text{d}}}=30^\circ $ ，可以实现波束在指定位置的长时间驻留，从而使得该项技术有可能在目标探测领域发挥极其重要的作用。

然而，上述仿真所依据的模型式（11）和（12）中错误地将频率增量项中的时间变量与传播项中的时间变量等同且相互抵消，消除了波束的时变性。这具有很大的误导性，应当明确指出上述两个时间变量具有不同的物理意义。因此，时间频率调制的FDA 波束合成技术无法实现时不变空间点状波束。

进一步依据式（13）和（14），波形产生时刻变量 $t'$ 取固定值 ${t_{{\text{fix}}}}$ ，则信号在空间传播过程中的频率增量项为固定值 $F(m){\text{/(}}{t_{{\text{fix}}}} - {r_{\text{d}}}/c)$ 。因此，只有当传播项 $(t - r/c)$ 与固定值 $({t_{{\text{fix}}}} - {r_{\text{d}}}/c)$ 相等时，波束才会取最大值，这说明波束最大值随着时间的推移动态前向传播，符合电磁波传播原理。图5为对数频率增量脉冲动态点状波束仿真结果，图6为多载频非线性频率增量脉冲动态点状波束仿真结果。仿真参数为 $N = 10$ ， ${f_0} = 10{\text{ GHz}}$ ， $M = 10$ ， $d = \lambda /2 = 0.015{\text{ m}}$ ， $T = 0.25{\text{ ms}}$ ， ${r_{\text{d}}} = 250{\text{ km}}$ ， ${\theta _{\text{d}}} = 30^\circ $ ， $\kappa {\text{ = 3}}$ ，取 ${t_{{\text{fix}}}} = {\text{1 ms}}$ ，传播项 $t$ 从小到大变化，分别取值0.125、0.250、0.500、0.750、1.000和1.125 ms。

从图5和6的仿真结果可以看出：FDA阵列雷达通过合理的频偏设计可以合成点状波束。对数频率增量合成的点状波束旁瓣较高，且具有拖尾现象；多载频FDA合成的波束聚焦性能好，旁瓣低。无论哪种情况，点状波束在空间都是动态前向传播的，而不是静态时不变的。波束最大值会固定在方位 ${\theta _{\text{d}}}$ 处，而不会固定在距离 ${r_{\text{d}}}$ 处，这是本文得出的重要结果，且不同于文献[11-13]中的结果。

4 结　论

本文系统研究了采用时间调制频率增量技术合成空间时不变点状波束中存在的问题，分析并指出现有时间调制频率增量数学模型中频率增量项时间变量与传播项时间变量具有不同的物理意义。因此，不能简单地采用将这两项对消来消除发射波束的时变性。仿真结果验证了FDA雷达辐射脉冲信号且满足所给的约束条件时，可在脉冲覆盖空间区域内合成点状波束，该点状波束随时间动态前向传播，并非静态不动。在本文对FDA雷达波束合成研究的基础上，如何在干扰抑制、目标检测、雷达成像等方面发挥波束优势是下一步研究工作的重点。